Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) M và F đối xứng nhau qua AC
⇒MF⊥AC
hay MI⊥AC(do I∈MF)
mà MF\(\cap\)AC={I}
nên I là trung điểm của MF
Ta có: MI⊥AC(cmt)
AE⊥AC(do AB⊥AC,E∈AB)
Do đó: MI//AE(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
E là trung điểm của AB(gt)
Do đó: ME là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒ME//AC và \(ME=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
⇒MI//AE(do I∈AC,E∈AB)
Xét tứ giác AEMI có ME//AI(cmt) và MI//AE(cmt)
nên AEMI là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AEMI có \(\widehat{A}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
nên AEMI là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật_
b) Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
MI//AB(cmt)
Do đó: I là trung điểm của AC(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác AMCF có
I là trung điểm của đường chéo FM(cmt)
I là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
Do đó: AMCF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AMCF có AC⊥FM(cmt)
nên AMCF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
I là trung điểm của AC(cmt)
Do đó: MI là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MI=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(MI=\frac{FM}{2}\)(do I là trung điểm của FM)
nên AB=FM
Xét tứ giác ABMF có AB//FM(AB//IM,F∈IM) và AB=FM(cmt)
nên ABMF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
d) Để hình chữ nhật AEMI là hình vuông thì AI=AE
mà \(AI=IC=\frac{AC}{2}\)(do I là trung điểm của AC)
và \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)(do E là trung điểm của AB)
nên AC=AB
Vậy: Khi ΔABC vuông tại A có thêm điều kiện AC=AB thì hình chữ nhật AEMI là hình vuông
Bạn tham khảo ở đây nha: https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-vuong-tai-a-co-am-la-duong-trung-tuyen-e-la-diem-doi-xung-cua-m-qua-ab-f-la-diem-doi-xung-cua-m-qua-ac-goi-np-lan-luot-la-giao-diem-cua-me-vs-ab-mf-vs-ac-a-cmr-e.197309796137
a: M đối xứng E qua AB
nên ME vuông góc với AB tại N và N là trung điểm của ME
=>AB là phân giác của góc MAE(1)
M đối xứng F qua AC
nên MF vuông góc với AC tại P và P là trung điểm của MF
=>AC là phân giác của góc MAF(2)
Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2*90=180 độ
=>F,A,E thẳng hàng
b: Xét tứgiác ANMP có
góc ANM=góc APM=góc PAN=90 độ
nên ANMP là hình chữ nhật
c: Xét tứ giác AENP có
NE//AP
NE=AP
Do đó: AENP là hình bình hành
a: Ta có; D đối xứng M qua AB
nên DM vuông góc với AB tại E và E là trung điểm của DM
Ta có: D đối xứng N qua AC
nên DN vuông góc với AC và F la trung điểm của DN
Xét ΔCAB có
D là trung điểm của BC
DE//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DF//AB
Do đó; F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AEDF có góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ
nên AEDF là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác ADBM có
Elà trung điểm chung của AB và MD
DA=DB
Do đó: ADBM là hình thoi
Xét tứ giác ADCN có
F là trung điểm của AC va DN
DA=DC
Do đó: ADCN là hình thoi
c: Xét ΔDMN có DE/DM=DF/DN
nên EF//MN
d: Từ (1) và (2) suy ra góc MAN=2*90=180 độ
=>M,A,N thẳng hàng
mà AM=AN
nên A là trung điểm của NM
e: Xét ΔABC và ΔDNM có
AB=DN
BC=NM
AC=DM
Do đó; ΔABC=ΔDNM
a: Ta có: D và M đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của MD
=>AM=AD
=>ΔADM cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là tia phân giác của góc DAM(1)
Ta có: D và N đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của DN
=>AD=AN
=>ΔADN cân tại A
mà AClà đường cao
nên AC là phân giác của góc DAN(2)
Xét tứ giác AEDF có \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
b: Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác ADBM có
E là trung điểm của AB
E là trung điểm của DM
Do đó: ADBM là hình bình hành
mà DA=DB
nên ADBM là hình thoi
Xét tứ giác ADCN có
F la trung điểm của AC
F la trung điểm của DN
Do đó: ADCN là hình bình hành
mà DA=DC
nên ADCN là hình thoi
c: Từ(1) và (2) suy ra \(\widehat{MAN}=2\cdot90^0=180^0\)
=>M,A,N thẳng hàng
mà AM=AN
nên A là trung điểm của MN
Bài 1:
a) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: \(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)
mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)(do D là trung điểm của BC)
nên MN=BD=DC
Xét tứ giác MNDB có MN//BD(MN//BC,D∈BC) và MN=BD(cmt)
nên MNDB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(do D là trung điểm của BC)
⇒AD cũng là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow\widehat{ADC}=90độ\)
Xét tứ giác ADCE có
N là trung điểm của đường chéo AC(gt)
N là trung điểm của đường chéo DE(do D và E đối xứng với nhau qua N)
Do đó: ADCE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADCE có \(\widehat{ADC}=90độ\)(cmt)
nên ADCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Để hình chữ nhật ADCE là hình vuông thì AD=DC
mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)
nên \(AD=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(do D là trung điểm của DC)
\(AD=\frac{BC}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔABC vuông tại A(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà ΔABC cân tại A(gt)
nên ΔABC vuông cân tại A
⇒\(\widehat{BAC}=90độ\)
Vậy: Khi ΔABC cân tại A có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90độ\) thì tứ giác ADCE là hình vuông
Bài 2:
a) Ta có: BC=AD(BC và AD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
và \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)(do M là trung điểm của AD)
nên BN=NC=AM=MD
Xét tứ giác AMNB có BN//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và BN=AM(cmt)
nên AMNB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: \(AB=\frac{BC}{2}\)(gt)
mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
nên AB=BN=NC
Hình bình hành AMNB có AB=BN(cmt)
nên AMNB là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét tứ giác NCDM có NC//MD(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=MD(cmt)
nên NCDM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AB=CD(do AB và CD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà AB=NC(cmt)
nên CD=NC
Hình bình hành NCDM có CD=NC(cmt)
nên NCDM là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
b) Xét tứ giác ANCD có NC//AD(do BC//AD,N∈BC)
nên ANCD là hình thang(định nghĩa hình thang)
c)
Xét tứ giác ANCM có NC//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=AM(cmt)
nên ANCM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AN=MC và AN//MC(AN và MC là hai cạnh đối trong hình bình hành ANCM)
Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))
nên E là trung điểm của AN(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow EN=AE=\frac{AN}{2}\)
Ta có: F là giao điểm của hai đường chéo ND và CM trong hình thoi NCDM(do \(DN\cap CM=\left\{F\right\}\))
nên F là trung điểm của CM(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow MF=FC=\frac{MC}{2}\)
Ta có: AN=MC(cmt)
mà \(EN=\frac{AN}{2}\)(cmt)
và \(MF=\frac{MC}{2}\)(cmt)
nên EN=MF
Xét tứ giác ENFM có EN//MF(do AN//MC, E∈AN,F∈CM) và EN=MF(cmt)
nên ENFM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: BM⊥AN(do BM và AN là hai đường chéo trong hình thoi ABNM)
⇒\(\widehat{NEM}=90độ\)
Hình bình hành ENFM có \(\widehat{NEM}=90độ\)(cmt)
nên ENFM là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Để hình chữ nhật ENFM là hình vuông thì EN=EM(1)
Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))
nên E là trung điểm của BM(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow BE=EM=\frac{BM}{2}\)(2)
Ta có: \(EN=AE=\frac{AN}{2}\)(cmt)(3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra \(\frac{BM}{2}=\frac{AN}{2}\)
hay BM=AN
Hình thoi BNMA có hai đường chéo BM và AN bằng nhau(cmt)
nên BNMA là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)
\(\Rightarrow\widehat{ABN}=90độ\)
hay \(\widehat{ABC}=90độ\)(do C∈BN)
Vậy: Khi hình bình hành ABCD có thêm điều kiện là \(\widehat{ABC}=90độ\) thì tứ giác ENFM là hình vuông
b: Xét tứ giác AMCF có
AC và MF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau
nên AMCF là hình thoi