Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)
\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)
Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)
\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC
\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)
mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)
CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)
\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)
Xét tứ giác MEPF có:
\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)
b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)
\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc) (4)
Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)
\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)
Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)
\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC
\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)
\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)
Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm
c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)
\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)
CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)
Mà Q,F,E,N thẳng hàng
\(\Rightarrow AB//CD\)
Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện \(AB//CD\)
https://lazi.vn/edu/exercise/cho-tam-giac-abc-goi-d-e-f-theo-thu-tu-la-trung-diem-cua-ab-bc-ca-goi-m-n-p-q-theo-thu-tu-la-trung-diem
Bạn xem tại link này nhé
Học tốt!!!!!!
Em tham khảo tại đây nhé.
Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Bài 1:
a) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: \(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)
mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)(do D là trung điểm của BC)
nên MN=BD=DC
Xét tứ giác MNDB có MN//BD(MN//BC,D∈BC) và MN=BD(cmt)
nên MNDB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(do D là trung điểm của BC)
⇒AD cũng là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow\widehat{ADC}=90độ\)
Xét tứ giác ADCE có
N là trung điểm của đường chéo AC(gt)
N là trung điểm của đường chéo DE(do D và E đối xứng với nhau qua N)
Do đó: ADCE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADCE có \(\widehat{ADC}=90độ\)(cmt)
nên ADCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Để hình chữ nhật ADCE là hình vuông thì AD=DC
mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)
nên \(AD=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(do D là trung điểm của DC)
\(AD=\frac{BC}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔABC vuông tại A(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà ΔABC cân tại A(gt)
nên ΔABC vuông cân tại A
⇒\(\widehat{BAC}=90độ\)
Vậy: Khi ΔABC cân tại A có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90độ\) thì tứ giác ADCE là hình vuông
Bài 2:
a) Ta có: BC=AD(BC và AD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
và \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)(do M là trung điểm của AD)
nên BN=NC=AM=MD
Xét tứ giác AMNB có BN//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và BN=AM(cmt)
nên AMNB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: \(AB=\frac{BC}{2}\)(gt)
mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
nên AB=BN=NC
Hình bình hành AMNB có AB=BN(cmt)
nên AMNB là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét tứ giác NCDM có NC//MD(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=MD(cmt)
nên NCDM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AB=CD(do AB và CD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà AB=NC(cmt)
nên CD=NC
Hình bình hành NCDM có CD=NC(cmt)
nên NCDM là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
b) Xét tứ giác ANCD có NC//AD(do BC//AD,N∈BC)
nên ANCD là hình thang(định nghĩa hình thang)
c)
Xét tứ giác ANCM có NC//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=AM(cmt)
nên ANCM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AN=MC và AN//MC(AN và MC là hai cạnh đối trong hình bình hành ANCM)
Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))
nên E là trung điểm của AN(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow EN=AE=\frac{AN}{2}\)
Ta có: F là giao điểm của hai đường chéo ND và CM trong hình thoi NCDM(do \(DN\cap CM=\left\{F\right\}\))
nên F là trung điểm của CM(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow MF=FC=\frac{MC}{2}\)
Ta có: AN=MC(cmt)
mà \(EN=\frac{AN}{2}\)(cmt)
và \(MF=\frac{MC}{2}\)(cmt)
nên EN=MF
Xét tứ giác ENFM có EN//MF(do AN//MC, E∈AN,F∈CM) và EN=MF(cmt)
nên ENFM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: BM⊥AN(do BM và AN là hai đường chéo trong hình thoi ABNM)
⇒\(\widehat{NEM}=90độ\)
Hình bình hành ENFM có \(\widehat{NEM}=90độ\)(cmt)
nên ENFM là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Để hình chữ nhật ENFM là hình vuông thì EN=EM(1)
Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))
nên E là trung điểm của BM(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow BE=EM=\frac{BM}{2}\)(2)
Ta có: \(EN=AE=\frac{AN}{2}\)(cmt)(3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra \(\frac{BM}{2}=\frac{AN}{2}\)
hay BM=AN
Hình thoi BNMA có hai đường chéo BM và AN bằng nhau(cmt)
nên BNMA là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)
\(\Rightarrow\widehat{ABN}=90độ\)
hay \(\widehat{ABC}=90độ\)(do C∈BN)
Vậy: Khi hình bình hành ABCD có thêm điều kiện là \(\widehat{ABC}=90độ\) thì tứ giác ENFM là hình vuông