Question

[trân võ]

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm F là điểm đối xứng với M qua AC,E là trung điểm của AB. Gọi I là giao điểm của MF và AC .

a)cm tứ giác AEMI là hcn.

b) cm tứ giác AMCF là hình thoi.

c) cm tứ giác ABMF là hbh.

d)tam giác ABC cần điều kiện gì để AEMI là hv

Giúp mình với

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) M và F đối xứng nhau qua AC

⇒MF⊥AC

hay MI⊥AC(do I∈MF)

mà MF\(\cap\)AC={I}

nên I là trung điểm của MF

Ta có: MI⊥AC(cmt)

AE⊥AC(do AB⊥AC,E∈AB)

Do đó: MI//AE(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC(gt)

E là trung điểm của AB(gt)

Do đó: ME là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒ME//AC và \(ME=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

⇒MI//AE(do I∈AC,E∈AB)

Xét tứ giác AEMI có ME//AI(cmt) và MI//AE(cmt)

nên AEMI là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AEMI có \(\widehat{A}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên AEMI là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật_

b) Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC(gt)

MI//AB(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AC(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác AMCF có

I là trung điểm của đường chéo FM(cmt)

I là trung điểm của đường chéo AC(cmt)

Do đó: AMCF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AMCF có AC⊥FM(cmt)

nên AMCF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

c) Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC(gt)

I là trung điểm của AC(cmt)

Do đó: MI là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒\(MI=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà \(MI=\frac{FM}{2}\)(do I là trung điểm của FM)

nên AB=FM

Xét tứ giác ABMF có AB//FM(AB//IM,F∈IM) và AB=FM(cmt)

nên ABMF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

d) Để hình chữ nhật AEMI là hình vuông thì AI=AE

mà \(AI=IC=\frac{AC}{2}\)(do I là trung điểm của AC)

và \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)(do E là trung điểm của AB)

nên AC=AB

Vậy: Khi ΔABC vuông tại A có thêm điều kiện AC=AB thì hình chữ nhật AEMI là hình vuông