NB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NB
0
KN
29 tháng 5 2020
Ta có: \(\frac{19a+3}{b^2+1}=\left(19a+3\right).\frac{1}{b^2+1}=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)\)
\(\ge\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=19a+3-\frac{19ab}{2}-\frac{3b}{2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{19b+3}{c^2+1}\ge19b+3-\frac{19bc}{2}-\frac{3c}{2}\)(2); \(\frac{19c+3}{a^2+1}\ge19c+3-\frac{19ca}{2}-\frac{3a}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(A=\frac{19a+3}{b^2+1}+\frac{19b+3}{c^2+1}+\frac{19c+3}{a^2+1}\)\(\ge19\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)
\(=\frac{35\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)
\(\ge\frac{35.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{19.3}{2}+9=\frac{105}{2}-\frac{57}{2}+9=33\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
LH
1
18 tháng 11 2019
\(a+b+c=abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge1\)
để ý \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) nha mọi người:)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Với các số dương x;y ta có:
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng:
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{a}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
N
Cho a,b,c tm \(ab+bc+ca\le3abc\)
Cm \(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{3}{2}\)
0
NN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2019
Trước hết với x; y dương ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Thật vậy, \(\) \(x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng: \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\\b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\\a^3+c^3\ge ac\left(a+c\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\)
Mặt khác:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le a^3+b^3+c^3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a^3+b^3+c^3\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)