Question

[võ nữ yến nhi]

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' biết AB= a, AC= 2a, góc BAC= 60⁰ Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa AA', và A'G= 30⁰ tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

Xet tam giac ABC co 

\(cos60=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}\Rightarrow BC=\sqrt{3}a\)

\(cosACB=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.AC.BC}\Rightarrow\widehat{ACB}=30^0\)

Cho H la giao diem giua AG va BC => HC = can3/2 

Xet tam giac AHC 

\(cosACB=\dfrac{AC^2+CH^2-AH^2}{2.AC.CH}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{7}a}{2}\)

\(\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{7}a}{2}=\dfrac{\sqrt{7}a}{3}\)

Ma (AA';A'G) = ^AA'G  = 30⁰

Xet tam giac A'AG vuong tai G 

tanAA'G = \(\dfrac{AG}{A'G}=\dfrac{\sqrt{7}a}{3}:A'G=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow A'G=\dfrac{\sqrt{21}a}{3}\)

Xet tam giac ABC 

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}.a.2a.sin60^0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2\)

\(V_{ABC.A'B'C}=A'G.S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2=\dfrac{\sqrt{7}}{2}a^3\)