Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta has: x2+y2≥2xyx ^ 2 + y ^ 2 \ ge2xyx2+y2≥2 x y
⇔2(x2+y2)≥(x+y)2\ Leftrightarrow2 \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) \ ge \ left (x + y \ right) ^ 2⇔2( x2+y2)≥( x+y )2
⇔x2+y2≥(x+y)22\ Leftrightarrow x ^ 2 + y ^ 2 \ ge \ frac {\ left (x + y \ right) ^ 2} {2}⇔x2+y2≥2( x + y )2Các bác sĩ cho biết thêm:
Áp dụng vào bài toán có:
P≤x+y(x+y)22+y+z(y+z)22+z+x(z+x)22P \ le \ frac {x + y} {\ frac {\ left (x + y \ right) ^ 2} {2}} + \ frac {y + z} {\ frac {\ left (y + z \ right ) ^ 2} {2}} + \ frac {z + x} {\ frac {\ left (z + x \ right) ^ 2} {2}}P≤2( x + y )2Các bác sĩ cho biết thêm:x + yCác bác sĩ cho biết thêm:+2( y + z )2Các bác sĩ cho biết thêm:y + zCác bác sĩ cho biết thêm:+2( z + x )2Các bác sĩ cho biết thêm:z + xCác bác sĩ cho biết thêm: =2x+y+2y+z+2z+x=12(4x+y+4y+z+4z+x)= \ frac {2} {x + y} + \ frac {2} {y + z} + \ frac {2} {z + x} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {4} {x + y} + \ frac {4} {y + z} + \ frac {4} {z + x} \ right)=x + y2Các bác sĩ cho biết thêm:+y + z2Các bác sĩ cho biết thêm:+z + x2Các bác sĩ cho biết thêm:=21Các bác sĩ cho biết thêm:(x + y4Các bác sĩ cho biết thêm:+y + z4Các bác sĩ cho biết thêm:+z + x4Các bác sĩ cho biết thêm:)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có:
4x+y≤1x+1y\ frac {4} {x + y} \ le \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y}x + y4Các bác sĩ cho biết thêm:≤x1Các bác sĩ cho biết thêm:+y1Các bác sĩ cho biết thêm:, 4y+z≤1y+1z\ frac {4} {y + z} \ le \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z}y + z4Các bác sĩ cho biết thêm:≤y1Các bác sĩ cho biết thêm:+z1Các bác sĩ cho biết thêm:, 4z+x≤1z+1x\ frac {4} {z + x} \ le \ frac {1} {z} + \ frac {1} {x}z + x4Các bác sĩ cho biết thêm:≤z1Các bác sĩ cho biết thêm:+x1Các bác sĩ cho biết thêm:
Do đó: P≤12[2.(1x+1y+1z)]=2016P \ le \ frac {1} {2} \ left [2. \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z} \ right) \ right ] = 2016P≤21Các bác sĩ cho biết thêm:[ 2 .(x1Các bác sĩ cho biết thêm:+y1Các bác sĩ cho biết thêm:+z1Các bác sĩ cho biết thêm:) ]=2 0 1 6
Dấu "=" ⇔x=y=z=1672\ Leftrightarrow x = y = z = \ frac {1} {672}⇔x=y=z=6 7 21Các bác sĩ cho biết thêm:
P / s: Dấu "=" không chắc lắm :))
Học tốt đêý nhá
ta có 5x=7y=3z= \(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}\)=> \(\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{49}=\frac{z^2}{9}\)
ADTC dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{49}=\frac{z^2}{9}=\frac{x^2+y^2-z^2}{25+49-9}=\frac{585}{65}=9\)
Suy ra:
\(\frac{x^2}{25}=9\Rightarrow x^2=25.9\Rightarrow x^2=225\Rightarrow x^2=15^2\Rightarrow x=15\)
\(\frac{y^2}{49}=9\Rightarrow y^2=9.49\Rightarrow y^2=441\Rightarrow y^2=21^2\Rightarrow y=21\)
\(\frac{z^2}{9}=9\Rightarrow z^2=9.9\Rightarrow z^2=81\Rightarrow z^2=9^2\Rightarrow z=9\)
Vậy x = 15;y=21;z=9
Bài 3:
a, (\(x\)+y+z)2
=((\(x\)+y) +z)2
= (\(x\) + y)2 + 2(\(x\) + y)z + z2
= \(x^2\) + 2\(xy\) + y2 + 2\(xz\) + 2yz + z2
=\(x^2\) + y2 + z2 + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz
b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y2 + z2 - \(xy\) - yz - \(xz\))
= \(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y3
Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y3 khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé
Có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\) (do \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2=1\))
Ta có: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)
nên \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{9}\left(1\right)\)
Ta có: \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{z}{5}\)
nên \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{z}{10}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{10}\)
Đặt \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{10}=k\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6k\\y=9k\\z=10k\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2=21\)
\(\Leftrightarrow k^2=\dfrac{21}{217}\)
Trường hợp 1: \(k=\dfrac{\sqrt{93}}{31}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6k=\dfrac{6\sqrt{93}}{31}\\y=9k=\dfrac{9\sqrt{93}}{31}\\z=10k=\dfrac{10\sqrt{93}}{31}\end{matrix}\right.\)
Trường hợp 2: \(k=-\dfrac{\sqrt{93}}{31}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6k=\dfrac{-6\sqrt{93}}{31}\\y=9k=\dfrac{-9\sqrt{93}}{31}\\z=10k=\dfrac{-10\sqrt{93}}{31}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3};\dfrac{x}{3}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{10}=\dfrac{x^2}{36}=\dfrac{y^2}{81}=\dfrac{z^2}{100}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
\(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{10}=\dfrac{x^2}{36}=\dfrac{y^2}{81}=\dfrac{z^2}{100}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{217}=\dfrac{21}{217}=\dfrac{3}{31}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{31}\cdot6=\dfrac{18}{31}\\y=\dfrac{3}{31}\cdot9=\dfrac{27}{31}\\z=\dfrac{3}{31}\cdot10=\dfrac{30}{31}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$
$\Rightarrow (\frac{x}{y})^3=(\frac{y}{z})^3=(\frac{z}{x})^3=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow x=y=z$.
Do đó:
$\frac{(x+y+z)^{2022}}{x^{337}.y^{674}.z^{1011}}=\frac{(3x)^{2022}}{x^{337}.x^{674}.x^{1011}}=\frac{3^{2022}.x^{2022}}{x^{2022}}=3^{2022}$
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$
$\Rightarrow (\frac{x}{y})^3=(\frac{y}{z})^3=(\frac{z}{x})^3=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow x=y=z$.
Do đó:
$\frac{(x+y+z)^{2022}}{x^{337}.y^{674}.z^{1011}}=\frac{(3x)^{2022}}{x^{337}.x^{674}.x^{1011}}=\frac{3^{2022}.x^{2022}}{x^{2022}}=3^{2022}$
Dùng phương pháp chặn :
x \(\le\) y \(\le\) z \(\Rightarrow\) x2 \(\le\) y2 \(\le\) z2 \(\Rightarrow\) x2 + y2 + z2 \(\le\) 3z2
\(\Rightarrow\) 3z2 \(\ge\) 34 \(\Leftrightarrow\) z2 \(\ge\) 34/3 (1)
x2 + y2 + z2 = 34 mà x,y,z \(\in\) N \(\Rightarrow\) z2 \(\le\) 34 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có :
34/3 \(\le\) z2 \(\le\) 34
\(\Rightarrow\) z2 \(\in\) { 16; 25}
vì z \(\in\) N\(\Rightarrow\) z \(\in\) { 4; 5}
th1 Z = 4 ta có :
x2 + y2 + 16 = 34
x2 + y2 = 12
x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x2 \(\le\)y2 \(\Rightarrow\) x2 + y2 \(\le\) 2y2 \(\Rightarrow\) 12 \(\le\)2y2 \(\Rightarrow\) y2 \(\ge\) 6 (*)
x2 + y2 = 12 \(\Rightarrow\) y2 \(\le\) 12 (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có :
6 \(\le\) y2 \(\le\) 12 \(\Rightarrow\) y2 = 9 vì y \(\in\) N\(\Rightarrow\) y = 3
với y = 3 ta có : x2 + 32 = 12 \(\Rightarrow\) x2 = 12-9 = 3 \(\Rightarrow\) x = +- \(\sqrt{3}\)(loại vì x \(\in\) N)
th2 : z = 5 ta có :
x2 + y2 + 25 = 34
\(\Rightarrow\) x2 + y2 = 34 - 25 = 9
x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x2 \(\le\) y2 \(\Rightarrow\) x2 + y2 \(\le\)2y2 \(\Rightarrow\) 2y2 \(\ge\) 9 \(\Rightarrow\) y2 \(\ge\) 9/2 (a)
x2 + y2 = 9 \(\Rightarrow\) y2 \(\le\) 9 (b)
Kết hợp (a) và (b) ta có :
9/2 \(\le\) y2 \(\le\) 9 \(\Rightarrow\) y2 = 9 vì y \(\in\) N \(\Rightarrow\) y = 3
với y = 3 \(\Rightarrow\) x2 + 32 = 9 \(\Rightarrow\) x2 = 0 \(\Rightarrow\) x = 0
kết luận (x; y; z) =( 0; 3; 5) là nghiệm duy nhất thỏa mãn pt
fnf tha