Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Bổ đề: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Chứng minh:
* Chiều thuận:
Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $M$ thì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$
Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM};\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)
Mà theo tính chất trọng tâm: \(-\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GM}\)
\(\Rightarrow -\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
* Chiều đảo:
Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC,AC$
Vì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}\) nên $G,A,M$ thẳng hàng.
Tương tự: $G,B,N$ thẳng hàng nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Ta có đpcm.
----------------------------------------------
Áp dụng vào bài:
$G$ là trọng tâm của $ABC$ và $A'B'C'$
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA'}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB'}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)
Cách khác:
Gọi \(G,G'\)lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\) ,ta có:
\(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)
\(3\overrightarrow{GG'}=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right)\)
\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)
Để hai tam giác ABC và A'B'C' có trọng tâm trùng nhau \(\Rightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)(đpcm)
Bài 2:
a: \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}\)
=>vecto AB=vecto DC
=>ABCD là hình bình hành
b: \(\Leftrightarrow\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}=2\cdot\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=2\cdot\overrightarrow{DC}\)
=>vecto AB=2 vecto DC
=>ABCD là hình thang
Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, ta sẽ chứng minh G' cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC nên: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\).
Theo giả thiết:
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
Vậy G là trọng tâm tam giác A'B'C' hay hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.
\(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'A'}\)
Tách tương tự với 3 số hạng còn lại sau đó cộng vế với vế và chú ý rằng: \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{0};\) \(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\); \(\overrightarrow{O'A'}+\overrightarrow{O'C'}=\overrightarrow{0}\) ; \(\overrightarrow{O'B'}+\overrightarrow{O'D'}=\overrightarrow{0}\) theo tính chất hình bình hành ta sẽ có đpcm
\(\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CC}'=-\overrightarrow{B'B}-\overrightarrow{D'D}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{B'B}-\overrightarrow{B'B}-\overrightarrow{D'D}+\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{0}\)
Lời giải:
Ta chứng minh bổ đề sau:
Với tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm tam giác thì :
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Thật vậy. Gọi giao điểm \(AG\cap BC=T\Rightarrow T\) là trung điểm của tam giác. \(\Rightarrow \overrightarrow{BT}+\overrightarrow{CT}=0\)
Theo tính chất đường trung tuyến:
\(\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{TG}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GT}=0\) \((1)\)
Mà \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BT}\\ \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CT}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
Áp dụng CT trên vào bài toán thì: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\\ \overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=0\end{matrix}\right.\)
Khi đó, từ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)
Ta có đpcm.
1) đây nha : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/637285.html
câu 2 cũng chả khác gì cả