Tính nhanh tổng 10 số hạng của dãy số : 1/3 , 1/15 , 1/35 , 1/63 ,.....
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Số hạng 1: 3=1x3
Số hạng 2:15=3x5
Số hạng 3: 35=5x7
Số hạng 4: 63=7x9
Số hạng 5: 99=9x11
.............................
Nhận xét: Mỗi số hạng là tích của 2 thừa số thừa số, hiệu giữa 2 thừa số là 2 trong đó thừa số thứ nhất của số hạng tiếp theo bằng thừa số thứ 2 của số hạng liền trước.
Như vậy các thừa số thứ nhất của các số hạng lập thành dãy số cách đều bắt đầu từ 1 có khoảng cách là 2
Xuất phát từ công thức tính số các số hạng của dãy số cách đều
\(n=\frac{a_n-a_1}{d}+1\Rightarrow100=\frac{a_n-1}{2}\Rightarrow a_n=201.\)
Như vậy thừa số thứ nhất của số hạng thứ 100 là 201 nên thừa số thứ 2 của số hạng thứ 100 là
201+2=203
Số hạng thứ 100 là
201x203=40803
Tổng của 100 số hạng đó là
A=1x3+3x5+5x7+7x9+9x11+...+201x203
6xA=1x3x6+3x5x6+5x7x6+7x9x6+9x11x6+...+201x203x6
6xA=1x3x(5+1)+3x5x(7-1)+5x7x(9-3)+7x9x(11-5)+9x11x(13-7)+...+201x203(205-199)
6xA=3+1x3x5-1x3x5+3x5x7-3x5x7+5x7x9-5x7x9+9x11x13-....-199x201x203+201x203x205=3+201x203x205=8364618
A=8364618:6=1394103
a) Ta viết lại dãy đã cho thành \(1\dfrac{1}{3},1\dfrac{1}{8},1\dfrac{1}{15},...\)
Ta có thể thấy mẫu số của phần phân số trong các hỗn số của dãy là dãy các tích của 2 số cách nhau 2 đơn vị kể từ \(1.3\). Chẳng hạn \(3=1.3\), \(8=2.4\), \(15=3.5,...\) Do đó ta rút ra công thức số hạng tổng quát của dãy là \(u_n=1\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}\)\(1+\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)
b) Ta cần tính \(u_1.u_2...u_{98}\). Ta thấy rằng
\(u_1.u_2...u_{98}\) \(=\dfrac{\left(1+1\right)^2}{1.3}.\dfrac{\left(2+1\right)^2}{2.4}.\dfrac{\left(3+1\right)^2}{3.5}...\dfrac{\left(98+1\right)^2}{97.99}\) \(=\dfrac{2^2}{1.3}.\dfrac{3^2}{2.4}.\dfrac{4^2}{3.5}.\dfrac{6^2}{4.6}...\dfrac{98^2}{97.99}.\dfrac{99^2}{98.100}\) \(=\dfrac{2.99}{100}=\dfrac{99}{50}\)
\(=\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+\dfrac{2}{7.9}+\dfrac{2}{9.11}+\dfrac{2}{11.13}\)
\(=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{13}\)
\(=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}\)
Ta so sánh các số hạng
=> Dãy số từ lớn -> bé
=> \(\frac{1}{3}< \frac{1}{2}\)
Nên tất cả các số phía sau đều bé hơn \(\frac{1}{2}\)
Ta có:
a,3=1.3 ;8=2.4 ;15=3.5 ;24=4.6 ;35=5.7 ;....
=>Số hạng thứ 100 là:100.102=10200.
b,3=1.3 ;24=4.6 ;63=7.9 ;120=10.12 ;195=13.15....
Ta thấy:Mỗi thừa số đứng đầu của các số hạng trong tổng này có QLC là 3.
=>Thừa số đứng đầu của số hạng thứ 100 là:
(a-1):3+1=100 =>a=298
=>Số hạng thứ 100 của dãy là:298.300=89400
Tổng các số đó là:
\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{63}+...+\dfrac{1}{399}\)
\(=\dfrac{1}{1\times3}+\dfrac{1}{3\times5}+\dfrac{1}{5\times7}+\dfrac{1}{7\times9}+...+\dfrac{1}{19\times21}\)
\(=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{2}{1\times3}+\dfrac{2}{3\times5}+\dfrac{2}{5\times7}+\dfrac{2}{7\times9}+...+\dfrac{2}{19\times21}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{21}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{21}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{20}{21}\)
\(=\dfrac{10}{21}\)
A = \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{15}\) + \(\dfrac{1}{35}\) + \(\dfrac{1}{63}\) +...+
A = \(\dfrac{1}{1.3}\) + \(\dfrac{1}{3.5}\)+ \(\dfrac{1}{5.7}\) + \(\dfrac{1}{7.9}\)+...+
Xét dãy số 1; 3; 5; 7;...; Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là
3 - 1 = 2
Số thứ 10 của dãy số trên là 2 x (10 - 1) + 1 = 19
Vậy tổng của mười phân số đầu tiên của tổng A là:
A = \(\dfrac{1}{1.3}\) + \(\dfrac{1}{3.5}\) + \(\dfrac{1}{5.7}\) + \(\dfrac{1}{7.9}\) +....+ \(\dfrac{1}{19.21}\)
A = \(\dfrac{2}{2}\).(\(\dfrac{1}{1.3}\) + \(\dfrac{1}{3.5}\) + \(\dfrac{1}{5.7}\) + \(\dfrac{1}{7.9}\) +...+ \(\dfrac{1}{19.21}\)
A = \(\dfrac{1}{2}\).(\(\dfrac{2}{1.3}\) + \(\dfrac{2}{3.5}\) + \(\dfrac{2}{5.7}\) + \(\dfrac{2}{7.9}\)+...+ \(\dfrac{2}{19.21}\))
A = \(\dfrac{1}{2}\). (\(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + \(\dfrac{1}{5}\) - \(\dfrac{1}{7}\) + ...+ \(\dfrac{1}{19}\) - \(\dfrac{1}{21}\)
A = \(\dfrac{1}{2}\).( \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{21}\))
A = \(\dfrac{1}{2}\). \(\dfrac{20}{21}\)
A = \(\dfrac{10}{21}\)