a/ Xét tg ABM và tg AVM có

AB = AC (cạnh bên tg cân)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

BM = CM (gt)

=> tg ABM = tg ACM (c.g.c)

b/ Xét tg ABC có BM = CM (gt)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

Trong tg cân trung tuyến hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Xét tg ABE có

\(AM\perp BC\left(cmt\right)\Rightarrow AM\perp BE\)

\(ND\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow ED\perp AB\)

\(\Rightarrow BN\perp AE\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

c/ 

Xét tg ABE có

\(BN\perp AE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABN}=\widehat{CBN}\left(gt\right)\)

=> tg ABE cân tại B (trong tg có đường cao đồng thời là đường phân giác thì tg đó là tg cân)

Xét tg vuông ADE và tg vuông EMA có

AE chung

tg ABE cân (cmt) \(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{MEA}\) (góc ở đáy tg cân)

=> tg ADE = tg EMA (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{DEA}=\widehat{MAE}\) => tg ANE cân tại N

Trên tia ssoois của MA lấy D sao cho DM=AM

Mà BM=CM (gt)

=> ABCD là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có \(\widehat{A}=90^o\)

=> ABCD là hình chữ nhật => AD=BC (trong HCN hai đường chéo bằng nhau)

Ta có

\(AM=\dfrac{AD}{2}\) mà \(AD=BC\left(cmt\right)\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}\) 

Đây là  cấp số cộng có d=2 và số số hạng là

\(\dfrac{2n-1-1}{2}+1=n\) số hạng

\(\Rightarrow M=\dfrac{n\left(1+2n-1\right)}{2}=n^2\) là số chính phương

2 tg BCD và tg BCE có chung đường cao từ B->DE nên

\(\dfrac{S_{BCE}}{S_{BCD}}=\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow S_{BCD}=4xS_{BCE}=4x27,2=108,8cm^2\)

2 tg BCD và tg ABD có đường cao từ B->CD = đường cao từ D->AB nên

\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}}=\dfrac{CD}{AB}=2\Rightarrow S_{ABD}=\dfrac{S_{BCD}}{2}=\dfrac{108,8}{2}=54,4cm^2\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=S_{ABD}++S_{BCD}=54,4+108,8=163,2cm^2\)

a/ 

 Ta có

\(AF\perp AC;EF\perp AD\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{CAD}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Xét tg vuông ABC có

\(AD=CD=BD=\dfrac{BC}{2}\) (Trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg ADC cân tại D \(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{AFE}\)

Xét tg vuông ABC và tg vuông AEF

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{ACB}=\widehat{AFE}\) (cmt)

=> tg ABC đồng dạng với tg AEF

b/

Xét tg vuông AEF có

\(AD^2=DE.DF\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích của hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Mà \(AD=\dfrac{BC}{2}\) (cmt)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{BC^2}{2}\right)=DE.DF\Rightarrow BC^2=4.DE.DF\)

\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(A=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ca}=\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)}=\)

\(=\dfrac{-2\left(ab+bc+ca\right)}{-4\left(ab+bc++ca\right)-2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3}\)

Xét (O) có

sđ cung IQ = sđ cung KQ (gt)

=> IQ=KQ => tg IQK cân tại Q

OI=OK (bán kính (O))

\(\Rightarrow OQ\perp IK\) (trong tam giác cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow\widehat{QOK}=90^o\)

Ta có

\(\widehat{IPK}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> O và P cùng nhìn HK dưới 2 góc bằng nhau và bằng 90 độ

=> O và P thuộc đường tròn đường kính HK => OKPH là tứ giác nội tiếp

b/

Xét tg HIK có

\(OH\perp IK;OI=OK\) => tg HIK cân tại H (tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì đó là tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{KIP}=\widehat{HKI}\) (góc ở đáy tg cân)

Ta có

\(\widehat{PHK}=\widehat{KIP}+\widehat{HKI}\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

\(\Rightarrow\widehat{PHK}=2\widehat{KIP}\Rightarrow\widehat{KIP}=\dfrac{1}{2}\widehat{PHK}\)

\(S=\left(1+\dfrac{1}{1.3}\right)+\left(1+\dfrac{1}{2.4}\right)+\left(1+\dfrac{1}{3.5}\right)+...+\left(1+\dfrac{1}{998.1000}\right)=\)

\(=998+\left(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{997.999}\right)+\left(\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{998.1000}\right)\)

\(A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{997.999}\)

\(\Rightarrow2A=\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+...+\dfrac{2}{997.999}=1-\dfrac{1}{999}=\dfrac{998}{999}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{488}{999}\)

\(B=\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{998.1000}\)

\(\Rightarrow2B=\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{4.6}+...+\dfrac{2}{998.1000}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1000}=\dfrac{499}{1000}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{499}{2000}\)

\(\Rightarrow S=998+\dfrac{499}{999}+\dfrac{499}{2000}\)

a/

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta BMC\) có

MD = MB (cạnh tg đều BMD) (1)

MA = MC (cạnh tg đều AMC) (2)

\(\widehat{AMD}=\widehat{AMB}-\widehat{BMD}=180^o-60^o=120^o\)

\(\widehat{BMC}=\widehat{AMB}-\widehat{AMC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{BMC}=120^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) => \(\Delta AMD=\Delta BMC\left(c.g.c\right)\Rightarrow AD=BC\)

b/

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CFM\) có

MA = MC (cạnh tg đều AMC) (4)

\(AD=BC\left(cmt\right);AE=\dfrac{AD}{2};CF=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow AE=CF\) (5)

\(\Delta AMD=\Delta BMC\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{MAD}=\widehat{MCB}\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\Delta AEM=\Delta CFM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow ME=MF\) và \(\widehat{AME}=\widehat{CMF}\)

Ta có

\(\widehat{AME}+\widehat{EMC}=\widehat{AMC}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CMF}+\widehat{EMC}=\widehat{EMF}=60^o\)

=> \(\Delta MEF\) là tg đều