\(\frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}=a\left(b+m\right)-b\left(a+m\right)=\)

\(ab+am-ab-bm=m\left(a-b\right)\)

+ Nếu \(a>b\rArr m\left(a-b\right)>0\rArr\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

+ Nếu \(a

Gọi G là giao của AC với DM

Xét △BCD có

MB=MC (gt); OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mối đường)

=> G là trọng tâm của △BCD

\(\rArr\frac{CG}{OC}=\frac23\) Mà \(OC=\frac{AC}{2}\rArr\frac{CG}{OC}=\frac{CG}{\frac{AC}{2}}=\frac{2CG}{AC}=\frac23\rArr\frac{CG}{AC}=\frac13\rArr\frac{CG}{GA}=\frac12\)

Xét △SAC có

\(\frac{CG}{GA}=\frac12\left(\operatorname{cm}t\right)\)

\(NS=2NC\rArr\frac{NC}{NS}=\frac12\)

\(\rArr\frac{CG}{GA}=\frac{NC}{NS}\) => SA//NG (Talet đảo)

Mà NG∈(DMN) => SA//(DMN)

a2024b chia hết cho 45

=> a2024b đồng thời chia hết cho 5 và 9

a2024b chia hết cho 5 => b=0 hoặc b=5

+ Với b=0

=> a2024b=a20240 chia hết cho 9 => a=1

ta có số 120240 thỏa mãn đề bài

+ Với b=5

=> a2024b=a20245 chia hết cho 9 => a=5

ta có số 520245 thỏa mãn đề bài

ABCDEFIK

a/

AB//CD (cạnh đối hbh) => AE//CF (1)

\(AE=\frac{AB}{2};CF=\frac{CD}{2}\) và \(AB=CD\) (cạnh đối hbh)

\(\rArr AE=CF\) (2)

Từ (1) và (2) \(\rArr AECF\) là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

b/

C/m tương tự câu a ta cũng có AEFD là hbh

\(AE=\frac{AB}{2};AD=\frac{AB}{2}\rArr AE=AD\)

\(\rArr AEFD\) là hình thoi (hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau là hình thoi)

c/

AF//CE (cạnh đối hbh AECF) => IF//KE

C/m tương tự câu a ta cũng có BEDF là hbh

=>DE//BF =>IE//KF

=> EIFK là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Xét hình thoi AEFD có AF⊥DE (Trong hình thoi 2 đường chéo vuông góc)

=> EIFK là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN)

d/

Khi EIFK là hình vuông

=> IE=IF

Mà \(IE=\frac{DE}{2};IF=\frac{AF}{2}\rArr DE=AF\)

Hình thoi AEFD có DE = AF => AEFD là hình vuông (Hình thoi có 2 đường chéo băng nhau là hình vuông)

=> ABCD là hình CN

ABCDMENHFPOIK

a/

\(\hat{ACK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => CK⊥AC

BH⊥AC

=> BH//CK (cùng ⊥AC) (1)

\(\hat{ABK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => BK⊥AB

CH⊥AB

=> CH//BK (cùng ⊥AB) (2)

Từ (1) và (2) => BHCK là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Do I là trung điểm BC => I là trung điểm của HK (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét △AHK

OK=OA=R; IK=IH => OI là đường trung bình của △AHK

=> \(OI=\frac{AH}{2}\rArr AH=2OI\)

b/

Ta có F và E cùng nhìn BC dưới 2 góc = nhau và \(=90^{o}\)

=> F và E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

=> B; F; C; E cùng nằm trên 1 đường tròn

c/ Xét tứ giác nt BFEC có

\(\hat{CFE}=\hat{CBN}\) (Góc nt cùng chắn cung CE)

Xét (O)

\(\hat{CBN}=\hat{CPN}\) (Góc nt cùng chắn cung CN)

\(\rArr\hat{CFE}=\hat{CPN}\)

Hai góc trên ở vị trí đồng vị => EF//NP

M A B D H C

a/

Xét tg vuông OAM và tg vuông OBM

OA = OB = R

OM chung

=> tg OAM = tg OBM (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

=> MA = MB => tg MAB cân tại M và ^OMA = ^OMB

=> OM vuông góc với AB (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

b/

Ta có

^ACD = 90^o (góc nt chắn nửa đường tròn) => AC vg với MD

OM vg với AB (cmt)

=> H và C cùng nhìn MA dưới 2 góc = nhau và = 90^o 

=> H và C cùng nằm trên đường tròn đường kính MA => A; H; C; M cùng nằm trên 1 đường tròn

c/

Xét tứ giác nt AHCM có

^AMC + ^AHC = 180^o (trong tứ giác nt tổng 2 góc đối nhau = 180^o)

^CHB + ^AHC = ^AHB = 180^o

=> ^CHB = ^AMC => sinCHB = sinAMC

Xét tg vuông AMC có

cosAMC = MC/MA

sinCHB = sinAMC = AC/MA

=> cosAMC . sinCHB = MC.AC/MA²

Xét tg vuông AMD

MA² = MC.DM (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông băng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

=> cosAMC . sinCHB = MC.AC/MC.DM

=> AC = DM.cosAMC . sinCHB

c/

Xét \(\Delta ABC\)

\(AB=AC\left(gt\right)\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(AO\perp BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}\) (trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh)

Xét tg vuông ABH có

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^o\) (1)

\(\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\) (góc đối hình bình hành) 

AE//BC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{ECG}\) (góc so le trong) 

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ECG}\) (2)

Xét \(\Delta OCF\)

\(OC=OF\Rightarrow\Delta OCF\) cân tại O

\(IC=IF\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow OI\perp CF\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Xét tg vuông CIG

\(\widehat{BGO}+\widehat{ECG}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{BGO}\Rightarrow\widehat{BAC}=2\widehat{BGO}\)

\(A=\left(10^{50}-1\right)+18.50=\)

\(=999...9+900\) (999...9 có 50 chữ số 9)

\(\Rightarrow A=999...900+99+900\) (999...900 có 48 chữ số 9)

\(\Rightarrow A=\left(999.10^{47}+999.10^{44}+999.10^{41}+...+999.10^2\right)+999=\)

\(=999\left(10^{47}+10^{44}+10^{41}+...+10^2+1\right)\)

Mà \(999=27.37⋮27\)

\(\Rightarrow A⋮17\)

\(\dfrac{a+b-2c}{c}=\dfrac{b+c-2a}{a}=\dfrac{c+a-2b}{b}=\)

\(=\dfrac{a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b}{c+a+b}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b-2c}{c}=0\Leftrightarrow a+b=2c\)

\(\Rightarrow\dfrac{b+c-2a}{a}=0\Leftrightarrow b+c=2a\)

\(\Rightarrow\dfrac{c+a-2b}{b}=0\Leftrightarrow c+a=2b\)

Ta có

\(M=\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=\)

\(=\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a}=\dfrac{2c.2a.2b}{b.c.a}=8\)

a/

Xét tg vuông MOA và tg vuông MOB có

OM chung; \(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MOA=\Delta MOB\) (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\) => MO là phân giác của \(\widehat{BMA}\)

b/

Xét \(\Delta AHO\) và \(\Delta BHO\)

\(\Delta MOA=\Delta MOB\left(cmt\right)\Rightarrow OA=OB;OH\) chung

\(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHO=\Delta BHO\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{BHO}\)

Mà \(\widehat{AHO}+\widehat{BHO}=\widehat{AHB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{BHO}=\dfrac{\widehat{AHB}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow OM\perp AB\)

c/

Ta có

DE//AB (gt); \(OM\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow OM\perp DE\)

Xét \(\Delta ODE\)

\(OM\perp DE\left(cmt\right)\)

\(MB\perp Oy\left(gt\right)\Rightarrow DM\perp OE\)

=> M là trực tâm của \(\Delta ODE\)

\(\Rightarrow EM\perp OD\) (trong tg 3 đường cao đông quy)

Mà \(MA\perp Ox\left(gt\right)\Rightarrow MA\perp OD\)

\(\Rightarrow EM\equiv MA\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

=> A, M, E thẳng hàng