CMR nếu \(a+b+c\ge3\) thì\(a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
0
MN
0
2 tháng 6 2019
Ta có : \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
Tương tự \(b^4+c^4\ge b^3c+bc^3\)
\(c^4+a^4\ge a^3c+ac^3\)
Cộng hết vào ta đc
\(2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+a^3c+ac^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+a^3c+ac^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
=> Đpcm
T
4 tháng 6 2019
Bài này có lẽ sos là ra ạ! :D Nhưng mà em không chắc chỗ ký hiệu tổng ấy ạ,em không chắc là nên đặt \(\Sigma_{sym}\text{hay là }\Sigma_{cyc}\) trong bài này. Mong chị thông cảm cho ạ!
BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)-a^3b-ab^3-b^3c-bc^3-c^3a-ca^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^4-a^3b-ab^3+b^4\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)
Ta có Q.E.D. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
a/ Từ BĐT ban đầu ta có:
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
b/ Chia 2 vế của BĐT ở câu a cho 9 ta được:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) (đpcm)
c/ Cộng 2 vế của BĐT ban đầu với \(2ab+2bc+2ca\) ta được:
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
d/ Áp dụng BĐT ban đầu cho các số \(a^2;b^2;c^2\) ta được:
\(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Mặt khác ta cũng có:
\(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\ge ab.bc+bc.ca+ab+ca=abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
BD
4
T
22 tháng 11 2019
Một kiểu biến đổi tương đương khác.
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
\(VT-VP=\frac{\left(7a^2+8ab-ac+7b^2-bc-2c^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4}\ge0\)
Ta có qed./.
P/s: Bài giải trong 3 dòng:D
T
22 tháng 11 2019
Làm sao để biến đổi được như mình? Không hề khó! Ta có:
\(f\left(a;b;c\right)=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a-b\right)^2\) (1)
\(=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a+b-2c+2\left(c-b\right)\right)^2\)
\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(a+b-2c\right)\left(c-b\right)+4f_2\left(c-b\right)^2\)
\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(c-b\right)\left(a+b-2c+c-b\right)\)
\(=-\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(f\left(a;b;c\right)=\frac{f_2\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_2.f_1.\left(a+b-2c\right)^2}{4f_2-f_1+f_1}\)
\(=\frac{\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_1\left(a+b-2c\right)^2}{4}\) (3)
Như vậy, ta chỉ cần tìm được cách phân tích (1) thì sẽ tìm được cách phân tích (3).
Trở lại bài trên: \(VT-VP=2\left(a^4+b^4+c^4\right)-a^3\left(b+c\right)-b^3\left(c+a\right)-c^3\left(a+b\right)\)
\(=\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\)
Từ đó dẫn đến cách phân tích bên trên.
KB
9 tháng 9 2018
a ) CM : \(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
Giả sử điều cần c/m là đúng
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+a^3b+b^4+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\left(đpcm\right)\)
KB
9 tháng 9 2018
b ) \(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(=a^4+a^3b+a^3c+b^3a+b^4+b^3c+c^3a+c^3b+c^4\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)+\left(a^3b+b^3a\right)+\left(b^3c+c^3b\right)+\left(a^3c+c^3a\right)\)
CMTT như a ) : \(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\\b^4+c^4\ge b^3c+c^3b\\a^4+c^4\ge a^3c+c^3a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(đpcm\right)\)
ND
2
30 tháng 4 2020
Ta có BĐT sau:
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(true\right)\)
Khi đó tương tự ta có nốt \(\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}\ge\frac{b+c}{2};\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{c+a}{2}\)
Khi đó \(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
Ta dễ chứng minh được
\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}=\frac{b^4}{a^3+b^3}+\frac{c^4}{b^3+c^3}+\frac{a^4}{a^3+c^3}\)( trừ cái là xong )
Khi đó \(LHS\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c