LA
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MN
0
MN
0
BD
4
T
22 tháng 11 2019
Một kiểu biến đổi tương đương khác.
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
\(VT-VP=\frac{\left(7a^2+8ab-ac+7b^2-bc-2c^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4}\ge0\)
Ta có qed./.
P/s: Bài giải trong 3 dòng:D
T
22 tháng 11 2019
Làm sao để biến đổi được như mình? Không hề khó! Ta có:
\(f\left(a;b;c\right)=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a-b\right)^2\) (1)
\(=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a+b-2c+2\left(c-b\right)\right)^2\)
\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(a+b-2c\right)\left(c-b\right)+4f_2\left(c-b\right)^2\)
\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(c-b\right)\left(a+b-2c+c-b\right)\)
\(=-\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(f\left(a;b;c\right)=\frac{f_2\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_2.f_1.\left(a+b-2c\right)^2}{4f_2-f_1+f_1}\)
\(=\frac{\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_1\left(a+b-2c\right)^2}{4}\) (3)
Như vậy, ta chỉ cần tìm được cách phân tích (1) thì sẽ tìm được cách phân tích (3).
Trở lại bài trên: \(VT-VP=2\left(a^4+b^4+c^4\right)-a^3\left(b+c\right)-b^3\left(c+a\right)-c^3\left(a+b\right)\)
\(=\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\)
Từ đó dẫn đến cách phân tích bên trên.
KB
9 tháng 9 2018
a ) CM : \(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
Giả sử điều cần c/m là đúng
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+a^3b+b^4+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\left(đpcm\right)\)
KB
9 tháng 9 2018
b ) \(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(=a^4+a^3b+a^3c+b^3a+b^4+b^3c+c^3a+c^3b+c^4\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)+\left(a^3b+b^3a\right)+\left(b^3c+c^3b\right)+\left(a^3c+c^3a\right)\)
CMTT như a ) : \(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\\b^4+c^4\ge b^3c+c^3b\\a^4+c^4\ge a^3c+c^3a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(đpcm\right)\)
ND
2
30 tháng 4 2020
Ta có BĐT sau:
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(true\right)\)
Khi đó tương tự ta có nốt \(\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}\ge\frac{b+c}{2};\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{c+a}{2}\)
Khi đó \(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
Ta dễ chứng minh được
\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}=\frac{b^4}{a^3+b^3}+\frac{c^4}{b^3+c^3}+\frac{a^4}{a^3+c^3}\)( trừ cái là xong )
Khi đó \(LHS\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c
16 tháng 5 2020
BĐT tương đương với :
\(3a^4+3b^4+3c^4-\left(a^4+a^3b+a^3c+b^4+ab^3+b^3c+ac^3+bc^3+c^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)+\left(b^4+c^4-b^3c-bc^3\right)+\left(a^4+c^4-a^3c-ac^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(a-c\right)^2\left(a^2+ac+c^2\right)\ge0\)
28 tháng 5 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+b^3c+c^3a\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4-ab^3-bc^3-ca^3-a^3b-b^3c-c^3a\ge0\)
Theo AM - GM ta dễ có:
\(a^4+a^4+a^4+b^4\ge4\sqrt[4]{a^{12}b^4}=4a^3b\)
\(b^4+b^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{b^{12}c^4}=4b^3c\)
\(c^4+c^4+c^4+a^4\ge4\sqrt[4]{c^{12}a^4}=4c^3a\)
Cộng vế theo vế ta có đpcm
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
27 tháng 3 2018
a)\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b,c tương tự
d)Áp dụng bđt AM-GM ta được
\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4a^4b^4c^4}=4a^2bc\)
TT\(\Rightarrow a^4+b^4+b^4+c^4\ge4ab^2c\)
\(a^4+b^4+c^4+c^4\ge4abc^2\)
Cộng vế theo vế ta được \(4\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge4\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)
ND
27 tháng 3 2018
d)
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-a^2bc-ab^2c-abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2b^2+\left(b^2-c^2\right)^2+2b^2c^2+\left(c^2-a^2\right)^2+2a^2c^2-2a^2bc-2b^2ac-2c^2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2+\left(a^2b^2+b^2c^2-2b^2ac\right)+\left(b^2c^2+c^2a^2-2c^2abc\right)+\left(a^2b^2+c^2a^2-2a^2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ac\right)^2+\left(ab-ac\right)^2\ge0\)
Luôn đúng với mọi a , b , c