Cho a,b,c,d là các số thực không âm thỏa a+b+c+d=4. Cmr
\(a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc\le4\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bên dưới có giải thích chi tiết rồi đó em:
Cho a, b, c, d là các số tùy ý thỏa mãn a+b+c+d=1. Chứng minh a2+b2+c2+d2-2ab-2bc-2cd-2da\(\ge\)- \(\frac{1}{4}\) - Hoc24
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.b^4.c^4}=4a^2bc\)
Tương tự ta cũng có:
\(b^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{b^4.b^4.c^4.d^4}=4b^2cd\)
\(c^4+c^4+d^4+a^4\ge4\sqrt[4]{c^4.c^4.d^4.a^4}=4c^2da\)
\(d^4+d^4+a^4+b^4\ge4\sqrt[4]{d^4.d^4.a^4.b^4}=4d^2ab\)
Cộng theo vế các BĐT trên, ta được:
\(4\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra.....
Thường là đề trên cho thêm dữ kiện a,b,c,d\(\ge0\), hoặc bạn có thể dùng dấu GTTĐ( Cũng làm như trên , nhưng áp dụngthêm \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|\ge a\\\left|b\right|\ge b\end{matrix}\right.\))
\(VT=a^2+b^2+c^2+d^2-2\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
\(VT\ge\frac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2-\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)^2=-\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
BĐT cần c/m tương đương:
\(2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{4+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\)
Dễ dàng chứng minh điều này bằng AM-GM:
\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1+d^3+d^3+1\ge3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+4\ge12\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\) (1)
Lại có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\le4\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge16\ge4+3.4\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\) (đpcm)
Cộng x với z
ra HĐT suy ra
\(x+z=\left(a-b\right)^2+\left(c-d\right)^2+a^2+c^2\)
do a,b,c,d>0 nên x+z>0 vậy 1 trong 2 số có ít nhất 1 số dương
tương tự tự làm nhé
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.