Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
dễ thấy với điệu kiện đề bài thì xy(\(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2.\))\(\ge0\)
Vì x;y có vai trò ngang nhau nên giả sử x\(\ge y\)
đặt \(x^2=a,y^2=b;\sqrt{x}-1=m;\sqrt{y-1}=n\)=> am+bn= \(x^2\left(\sqrt{x}-1\right)+y^2\left(\sqrt{y}-1\right)\)
thì ta có \(a\ge b;m\ge n\)
=> (a-b)(m-n) \(\ge0< =>am+bn\ge an+bm< =>2am+2bn\ge\left(a+b\right)\left(m+m\right)\)
<=>\(am+bn\ge\frac{\left(a+b\right)\left(m+n\right)}{2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{y}-1\right)}{2}\ge0\)
hay am+bn\(\ge0\)
vậy vế trái luôn lớn hơn bằng 0
dấu"=" khi \(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2=0\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+y+2\sqrt{y}-2\sqrt{xy}+1}{x-2\sqrt{xy}+y-1}\)\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2-2\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+1}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2-1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}-1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+1}\)
\(F=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left[\dfrac{x+y}{xy}\cdot\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left[\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}\cdot xy=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)
\(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019^2\)
\(\Leftrightarrow M=2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019^2-2x^2y^2-x^2-y^2-1\)(Đặt M = .... cho gọn)
Có \(S=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
\(\Rightarrow S^2=x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)+M\)
\(\Rightarrow S^2=2x^2y^2+x^2+y^2+2019^2-2x^2y^2-x^2-y^2-1\)
\(\Rightarrow S=\sqrt{2019^2-1}\)