Question

[FFPUBGAOVCFLOL]

Tìm GTNN của biểu thức:

| x - a | + | x - b | + | x - c | +| x - d |  với a<b<c<d

Answer 1

[Nhật Hạ]

Áp dụng BĐT |a| + |b| ≥ |a + b|, dấu bằng xảy ra <=> ab ≥ 0,  ta có:

|x - a| + |x - d| ≥ |x -  a| + |d - x| ≥ |x - a + d - x| = d - a   (1)

|x - b| + |x - c| ≥ |x -  b| + |c - x| ≥ |x - b + c - x| = c - b    (2)

Từ (1) và (2) => |x - a| + |x - d| + |x - b| + |x - c| ≥ d - a + c - b

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x-a\right)\left(d-x\right)\ge0\\\left(x-b\right)\left(c-x\right)\ge0\end{cases}}\)

+) Giải: (x - a)(d - x) ≥ 0 

Th1: \(\hept{\begin{cases}x-a\ge0\\d-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge a\\x\le d\end{cases}}\Rightarrow a\le x\le d\)  (3)

Th2: \(\hept{\begin{cases}x-a\le0\\d-x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le a\\x\ge d\end{cases}}\Rightarrow d\le x\le a\)(Vô lý vì a < d)

Giải (x - b)(c - x) ≥ 0 

Th1: \(\hept{\begin{cases}x-b\ge0\\c-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge b\\x\le c\end{cases}}\Rightarrow b\le x\le c\)  (4)

Th2: \(\hept{\begin{cases}x-b\le0\\c-x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le b\\x\ge c\end{cases}}\Rightarrow c\le x\le b\)(Vô lý vì b < c)

Từ (3) và (4) => Dấu bằng xảy ra <=> a ≤ x ≤ d và b ≤ x ≤ c 

Mà a < b < c < d

=> Dấu bằng xảy ra <=> b ≤ x ≤ c 

Vậy GTNN |x - a| + |x - d| + |x - b| + |x - c| = d - a + c - b <=> b ≤ x ≤ c