Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Sửa đề: \(S=\dfrac{1}{6}\left(ch_a+bh_c+ah_b\right)\)
\(a.h_a=b.h_b=c.h_c=2S\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h_a=\dfrac{2S}{a}\\h_b=\dfrac{2S}{b}\\h_c=\dfrac{2S}{c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6S=\dfrac{2Sc}{a}+\dfrac{2Sb}{c}+\dfrac{2Sa}{b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3\)
Mặt khác theo AM-GM: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(\Leftrightarrow\) Tam giác đã cho đều
2.
Bạn coi lại đề, biểu thức câu này rất kì quặc (2 vế không đồng bậc)
Ở vế trái là \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) hay \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) nhỉ?
3.
Theo câu a, ta có:
\(VT=\dfrac{2S}{a}+\dfrac{2S}{b}+\dfrac{2S}{c}\ge\dfrac{18S}{a+b+c}=\dfrac{18.pr}{a+b+c}=9r\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Hay tam giác đã cho đều
Vì H I A ^ + H F A ^ = 180 0 nên tứ giác HFAI nội tiếp.
Suy ra: I H F ^ + I A F ^ = 180 0 ⇒ I H F ^ = 180 0 − I A F ^ = 80 0
Ta có H A → , H B → = B H A ^ H B → , H C → = B H C ^ H C → , H A → = C H A ^
⇒ H A → , H B → + H B → , H C → + H C → , H A → = B H A ^ + B H C ^ + C H A ^
= 2 B H C ^ = 2.80 0 = 160 0
Chọn D.
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên:
A H ⊥ C B ; B H ⊥ A C ; C H ⊥ B A ⇒ A H → . C B → = 0 ; B H → . A C → = 0 ; C H → . B A → = 0
Ta có
A H → . H B → − H C → + B H → . H C → − H A → + C H → . H A → − H B →
= A H → . C B → + B H → . A C → + C H → . B A → = 0
CHỌN B
Mệnh đề C sai.
Xét:
A. Đúng
Vẽ hbh ABDC => \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD\) (\(=2AH\))
Ta lại có, \(\Delta ABH\) vuông tại H, theo Pytago:
\(AH=\sqrt{AB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow AD=3\sqrt{3}\)
B. Đúng
Vẽ hình vuông AECH\(\Rightarrow\) AEHB là hbh
Ta có:
\(\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\right|=\left|\overrightarrow{BE}\right|=BE\)
Ta lại có, \(\Delta BCE\) vuông tại C, theo Pytago:
\(BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{BC^2+AH^2}=\frac{\sqrt{63}}{2}\)
C. Sai
Vẽ hbh AFHC \(\Rightarrow\)AFBH là hình vuông
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}\right|=\left|\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{AF}\right|=HF\) \(=AC=3\)
D. Đúng
\(\left|\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA=3\)
Đây là 1 trường hợp của BĐT hình học quan trọng: BĐT Erdos-Mordell
Cách chứng minh bài này y hệt như cách người ta chứng minh BĐT nói trên.
Có khoảng gần 20 cách gì đó, em kiếm trên google thử coi, vì BĐT này quá quen thuộc rồi nên mình sẽ ko chứng minh lại ở đây.