Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) đây nha : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/637285.html
câu 2 cũng chả khác gì cả
VT = CA + AC'
mà CA = CD + CB VÀ AC' = AD' + AB'
Cộng hai vế lại ta có : CD + CB + AD' + AB' = BD + B'D'
=BD' + DD' + BB' + D'B = BB' + DD' = VP
=> đpcm
Lời giải:
Bổ đề: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Chứng minh:
* Chiều thuận:
Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $M$ thì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$
Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM};\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)
Mà theo tính chất trọng tâm: \(-\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GM}\)
\(\Rightarrow -\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
* Chiều đảo:
Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC,AC$
Vì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}\) nên $G,A,M$ thẳng hàng.
Tương tự: $G,B,N$ thẳng hàng nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Ta có đpcm.
----------------------------------------------
Áp dụng vào bài:
$G$ là trọng tâm của $ABC$ và $A'B'C'$
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA'}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB'}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)
Cách khác:
Gọi \(G,G'\)lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\) ,ta có:
\(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)
\(3\overrightarrow{GG'}=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right)\)
\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)
Để hai tam giác ABC và A'B'C' có trọng tâm trùng nhau \(\Rightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)(đpcm)
\(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'A'}\)
Tách tương tự với 3 số hạng còn lại sau đó cộng vế với vế và chú ý rằng: \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{0};\) \(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\); \(\overrightarrow{O'A'}+\overrightarrow{O'C'}=\overrightarrow{0}\) ; \(\overrightarrow{O'B'}+\overrightarrow{O'D'}=\overrightarrow{0}\) theo tính chất hình bình hành ta sẽ có đpcm
Gọi \(O;O'\) lần lược là tâm của hbh \(ABCD;A'B'C'D'\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{DD'}\)
\(=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'A'}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'B'}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'C'}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'D}'\)
\(=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}\right)+\left(\overrightarrow{O'A'}+\overrightarrow{O'B'}+\overrightarrow{O'C'}+\overrightarrow{O'D'}\right)+2\overrightarrow{OO'}\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\left(đpcm\right)\)
chưa hiểu bước gần cuối cùng