K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 11 2021

a/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được

abc+bca≥2√abc.bca=2cabc+bca≥2abc.bca=2c

Tương tự

abc+cab≥2babc+cab≥2b

bca+cab≥2abca+cab≥2a

Cộng các vế của BĐT

2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)

↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c

b/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được

abc+bca≥2√abc.bca=2babc+bca≥2abc.bca=2b

Tương tự

abc+cab≥2aabc+cab≥2a

bca+cab≥2cbca+cab≥2c

Cộng các vế của BĐT

2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)

↔abc+bca+cab≥a+b+c

16 tháng 7 2016

Bạn chú ý : Bài của bạn cần phải có điều kiện a,b > 0

\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}=\frac{\left|a\right|}{\sqrt{b}}+\frac{\left|b\right|}{\sqrt{a}}=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\)(1)

Ta xét : \(A=\left(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\left(\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)+\left(a+b\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy được : \(\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\frac{ab\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}}=2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow A\ge a+b+2\sqrt{ab}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Câu hỏi của Called love - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ban jtrar My làm òi nhé !

1 tháng 6 2018

Bạn tham khảo tại đây : 

Câu hỏi của Nguyễn Anh Quân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

~ Ủng hộ nhé 

4 tháng 7 2017

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

NV
4 tháng 8 2020

\(A=\frac{\left(x+4\right)-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{4x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\)

\(A_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=4\)

\(B=\frac{x+3+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{3x}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}+2\)

\(B_{min}=2\sqrt{3}+2\) khi \(x=3\)

Xem lại đề câu C, với \(x>0\) thì \(C_{min}\) ko tồn tại

4 tháng 8 2020

Bạn ơi cho mình hỏi tại sao \(\frac{\left(x+4\right)-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)lại lớn hơn hoặc bằng \(\frac{2\sqrt{4x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)vậy ạ?

11 tháng 11 2016

Lỗi rồi

12 tháng 11 2016

Sửa đề: Tìm Max của \(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^2+9}}\)  biết a,b,c>0 và 6a+3b+2c=abc

Cách giải khác đây: 

Áp dụng bđt bunhia copxki ta có \(A^2\le6\left(a+b+c\right)=6\)vì a+b+c=1

nên \(A\le\sqrt{6}\)

Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3