Question

[Hoàng Hải Anh]

Cho hệ pt :

ax+by =3

ax2+by2=5ax2+by2=5

ax3+by3=9ax3+by3=9

ax4+by4=17ax4+by4=17

 Tính 

ax5+by5,ax2013+by2013=?ax5+by5,ax2013+by2013=?

Answer 1

[Thảo Giap]

Ta có ax^3 + by^3 = (x + y)(ax^2 + by^2) - xy(ax + by) => 9 = 5(x + y) - 3xy (1) ax^4 + by^4 = (x + y)(ax^3 + by^3) - xy(ax^2 + by^2) => 17 = 9(x + y) - 5xy (2) Từ (1) và (2) => x + y = 3 và xy = 2 => x, y là nghiệm của pt ∝^2 - 3∝ + 2 = 0 (∝ - 1)(∝ - 2) = 0 ∝ = 1 hoặc ∝ = 2 => (x , y) = (1 ; 2) hoặc (2 ; 1) Không mất tính tổng quát, giả sử (x , y) = (1 ; 2) Giả thiết ban đầu a + 2b = 3; a + 4b = 5 ; a + 8b = 9 ; a + 16b = 17 => a = b = 1 Vậy ax^2001 + by^2001 = 1.1^2001 + 1.2^2001 = 1 + 2^2001

Answer 2

[Thảo Giap]

Ta có ax^3 + by^3 = (x + y)(ax^2 + by^2) - xy(ax + by) => 9 = 5(x + y) - 3xy (1) ax^4 + by^4 = (x + y)(ax^3 + by^3) - xy(ax^2 + by^2) => 17 = 9(x + y) - 5xy (2) Từ (1) và (2) => x + y = 3 và xy = 2 => x, y là nghiệm của pt ∝^2 - 3∝ + 2 = 0 (∝ - 1)(∝ - 2) = 0 ∝ = 1 hoặc ∝ = 2 => (x , y) = (1 ; 2) hoặc (2 ; 1) Không mất tính tổng quát, giả sử (x , y) = (1 ; 2) Giả thiết ban đầu a + 2b = 3; a + 4b = 5 ; a + 8b = 9 ; a + 16b = 17 => a = b = 1 Vậy ax^2001 + by^2001 = 1.1^2001 + 1.2^2001 = 1 + 2^2001