Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-x-y}{\left(x+y+z\right)z}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}\right)=0\)
\(+,x+y=0\Rightarrow x=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)
\(+,\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+xz+yz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+z\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow y+z=0\Rightarrow z=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)
\(\text{Vậy ta có điều phải chứng minh }\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) (do x+y+z = 2015)
\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
đến đây tự lm nốt nha
Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM
Từ x+y+z=3 ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\frac{\Leftrightarrow xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
Nhân chéo ta có:
\(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xyz+x^2z+y^2x+y^2z+xyz+xyz+z^2y+z^2x=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+x^2z+y^2x+xyz\right)+\left(y^2z+z^2x+z^2y+xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(xy+xz+y^2+yz\right)+z\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[\left(xy+y^2\right)+\left(xz+yz\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)=0\)
Suy ra x+z=0 hoặc y+z=0 hoặc x+y=0
Với x+z=0 ta đc y=3
Với y+z=0 ta đc x=3
Với x+y=0 ta đc z=3
Từ đó suy ra đccm
Bài làm:
Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{zx^2+xy^2+yz^2}{xyz}=\frac{y^2z+x^2y+z^2x}{xyz}\)
\(\Rightarrow zx^2+xy^2+yz^2=y^2z+x^2y+z^2x\)
\(\Leftrightarrow zx^2+xy^2+yz^2-y^2z-x^2y-z^2x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(zx^2-z^2x\right)+\left(xy^2-y^2z\right)-\left(x^2y-yz^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow zx\left(x-z\right)+y^2\left(x-z\right)-y\left(x-z\right)\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-z\right)\left(zx+y^2-xy-yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-z\right)\left[z\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0\)
=> x - y = 0 hoặc y - z = 0 hoặc z - x = 0
=> x = y hoặc y = z hoặc z = x
Vậy luôn tồn tại 2 số trong 3 số x,y,z bằng nhau
=> đpcm
Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\) \(yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)+xy\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow\) \(xyz+y^2z+yz^2+x^2z+xyz+xz^2+x^2y+xy^2+xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(2xyz+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+x^2y+xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2\left(y+z\right)+x\left(y^2+2yz+z^2\right)+yz\left(y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(y+z\right)\left(x^2+xy+xz+yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x=-y\) hoặc \(y=-z\) hoặc \(z=-x\)
Vậy, trong ba số x, y, z có hai số đối nhau