Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^2\)
\(VT\ge\frac{1}{3}\left(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt vế trái là P
\(P=\left(\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{1+\frac{c}{b}}\right)^2+4\left(\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\right)^2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b}{a}=x>0\\\frac{c}{b}=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy=\frac{c}{a}\ge1\)
\(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+4\left(\frac{1}{1+\frac{1}{xy}}\right)^2=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+4\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^2\)
\(P\ge\frac{1}{1+xy}+4\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^2\)
Đặt \(xy=t\ge1\Rightarrow P\ge\frac{1}{1+t}+4\left(\frac{t}{1+t}\right)^2\)
Ta chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{1+t}+4\left(\frac{t}{1+t}\right)^2\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow1+t+4t^2\ge\frac{3}{2}\left(1+t\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8t^2+2t+2\ge3t^2+6t+3\)
\(\Leftrightarrow5t^2-4t-1\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(5t+1\right)\ge0\) (luôn đúng \(\forall t\ge1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(t=1\) hay \(a=b=c\)
1) Ta có ĐK: 0 < a,b,c < 1
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\ge2a\) (BĐT AM-GM cho 2 số a và 1-a)
Tương tự, ta có \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(1-b\right)}}\ge2b\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(1-c\right)}}\ge2c\)
⇒ \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge2\left(a+b+c\right)=2\)(do a+b+c=1)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = \(\frac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện a+b+c=1)
Dấu đẳng thức trên không xảy ra được. Vậy ta có bất đẳng thức\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
\(=\)\(18\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)\(=\)\(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(\left(9+5\sqrt{3}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=\)\(0\)
Vậy\(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(0\)
Chứng minh là \(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(0\)là đúng
chúc bạn học tốt
Bất đẳng thức trên
<=> 
+ 1 + 
+ 1 + 
+ 1 ≥ 3
<=> 
+ 
+ 
≥ 3 (*)
Ta có: VT(*) ≥ 
Ta sẽ chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)
<=> abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1
≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + ab + bc + ca + 1
<=> 3 ≥ a2b2c2 + 2abc (**)
Theo Cosi: 3 = a + b + c ≥ 3
=> ≤ 1 => abc ≤ 1
Vậy (**) đúng => (*) đúng.