K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 2 2020

Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)

Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:

\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)

\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)

\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)

P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.

18 tháng 2 2020

Cách khác:

Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)

\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)

P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2020

Lời giải:

$A=\frac{a(a+2b)-ab}{a+2b}+\frac{b(2a+b)-ab}{2a+b}$

$=a+b-\left(\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{a+b}{3}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)$

Mà:

$12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}$ (theo BĐT AM-GM)
$\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b+6)(a+b-4)\geq 0$

$\Rightarrow a+b\geq 4$

Do đó: $A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}$

Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$

7 tháng 1 2020

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

7 tháng 1 2020

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

2 tháng 12 2016

Tìm GTNN a: $F= 14(a^2+b^2+c^2) + \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam

3 tháng 12 2016

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^4\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

Ta lại có:

\(ab+bc+ca=\frac{1-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)

Làm tiếp.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 10 2018

Lời giải:

\(A=\frac{a(a+b)}{a+2b}+\frac{b(b+a)}{2a+b}=(a+b)\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:

\(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{2ab+b^2}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+2ab}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}}=\frac{2}{3}\)

Do đó:

\(A\geq \frac{2(a+b)}{3}\)

Cũng theo BĐT AM-GM: \(12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a+b-4)(a+b+6)\geq 0\Rightarrow a+b\geq 4\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow a=b=2\)