Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)
Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:
\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)
\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)
\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)
P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.
Cách khác:
Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)
\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)
P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v
ta có \(4\left(a^2+a+2b^2\right)=5\left(a^2+2ab+b^2\right)+3\left(a^2-2ab+b^2\right)\)\(=5\left(a+b\right)^2+3\left(a-b\right)^2\ge5\left(a+b\right)^2\)(vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\))
vì a,b dương nên \(2\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\sqrt{5}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\left(1\right)\)
dấu "=" xảy ra khi a=b
chứng minh tương tự để có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{5}{4}\left(b+c\right)\Leftrightarrow b=c\left(2\right)\\\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=c\left(3\right)\end{cases}}\)
cộng các bất đẳng thức (1) (2) và (3) theo vế ta được
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{5}{4}\cdot2\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2019\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=673}\)
* Ta có:
\(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
* Tương tự ta có:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\); \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
\(=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)
(Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 673)
Vậy \(P_{min}=2019\sqrt{5}\Leftrightarrow a=b=c=673\)
Bạn xem lại đề nhé! Mình nghĩ đề đúng là:
"a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm Min \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)"
Bạn áp dụng BĐT AM-GM là ra nhé
Lời giải:
$A=\frac{a(a+2b)-ab}{a+2b}+\frac{b(2a+b)-ab}{2a+b}$
$=a+b-\left(\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\right)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{a+b}{3}$
$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)$
Mà:
$12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}$ (theo BĐT AM-GM)
$\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0$
$\Leftrightarrow (a+b+6)(a+b-4)\geq 0$
$\Rightarrow a+b\geq 4$
Do đó: $A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}$
Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$
Lời giải:
\(A=\frac{a(a+b)}{a+2b}+\frac{b(b+a)}{2a+b}=(a+b)\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:
\(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{2ab+b^2}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+2ab}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}}=\frac{2}{3}\)
Do đó:
\(A\geq \frac{2(a+b)}{3}\)
Cũng theo BĐT AM-GM: \(12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-4)(a+b+6)\geq 0\Rightarrow a+b\geq 4\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow a=b=2\)