K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DN
1
TN
6 tháng 4 2017
Ta có BĐT quen thuộc
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow ab+bc+ca\le7\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta lại có:
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le21\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{21}\left(2\right)\)
Cộng theo vế 2 BĐT \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:
\(ab+bc+ca+a+b+c\le7+\sqrt{21}< 7+\sqrt{25}=12\) (ĐPCM)
CY
2
25 tháng 7 2017
Từ \(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+12-4a-4b-4c-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-4a-4b-4c+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-4c+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=2}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
25 tháng 7 2017
Từ ( a + b + c )2 + 12 = 4 ( a + b + c ) + 2 ( ab + bc + ac )
<=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + 12 - 4a - 4b - 4c - 2ab - 2bc - 2ac = 0
<=> a2 + b2 + c2 - 4a - 4b - 4c + 12 = 0
<=> ( a2 - 4a + 4 ) + ( b2 - 4b + 4 ) + ( c2 - 4c + 4 ) = 0
<=> ( a - 2 )2 + ( b - 2 )2 + ( c - 2 )2 = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{cases}}\)<=> a = b = c = 2
Vậy ta có điều phải chứng minh
24 tháng 6 2020
Bổ dung thêm \(ab^2+bc^2+ca^2=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy ba số:
\(\left(a+7\right)+8+8\ge3\sqrt[3]{\left(a+7\right)8\cdot8}=12\sqrt[3]{a+7}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+7}\le\frac{a+23}{12}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{b+7}\le\frac{b+23}{12}\\\sqrt[3]{c+7}\le\frac{c+23}{12}\end{cases}}\)
Cộng các BĐT trên ta nhận được:
\(\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\le\frac{a+b+c+69}{12}\)
Áp dụng BĐT Cauchy 4 số:
\(a\le\frac{a^4+1+1+1}{4}=\frac{a^4+3}{4};b\le\frac{b^4+3}{4};c\le\frac{c^4+3}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+69}{12}\le\frac{\frac{a^4+3}{4}+\frac{b^4+3}{4}+\frac{c^4+3}{4}+69}{12}=\frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}\)
Ta chứng minh \(\frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}\le2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy 4 số: \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4+b^4+1\ge4ab\\b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\\c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\end{cases}}\)
Cộng các BĐT trên ta thu được \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=12\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)
=> đpcm
VN
chứng minh:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12 ( gợi ý chứng minh nó chia hết cho 3 và 4)
0
9 tháng 7 2019
\(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)\)\(+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+12-4\left(a+b+c\right)-2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)-2\left(ab+bc+ac\right)-4\left(a+b+c\right)+12=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-4a-4b-4c+12=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-4c+4\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\)
Ta co: \(\left(a-2\right)^2\ge0\forall a\)
\(\left(b-2\right)^2\ge0\forall b\)
\(\left(c-2\right)^2\ge0\forall c\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)^2=0\\\left(b-2\right)^2=0\\\left(c-2\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=2}\left(\right)\)
(đpcm)
Mình nghĩ thế này nhé bạn!
9 tháng 7 2019
(a + b + c )2 + 12 = 4 (a + b +c ) + 2(ab + bc +ac)
\(\Leftrightarrow\)a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + 12 = 4a + 4b + 4c + 2ab + 2ac + 2bc
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 - 4a - 4b -4c +12 = 0
\(\Leftrightarrow\)a2 - 4a + 4 + b2 - 4b + 4 + c2 - 4c + 4 =0
\(\Leftrightarrow\)( a -2 )2 + (b-2)2 + (c-2)2 = 0
ta có (a-2 )2 \(\ge0\forall a\)
(b - 2 )2 \(\ge0\forall b\)
(c - 2 )2 \(\ge0\forall c\)
mà (a-2)2 + (b-2)2 + (c-2)2 = 0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)^2=0\\\left(b-2\right)^2=0\\\left(c-2\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=2\\c=2\end{cases}\left(đpcm\right)}\)
vậy................... khi a=b = c =2
#mã mã#
AV
17 tháng 9 2018
a) ta có : a+b=4 => (a+b)2=16 =>a2+b2=16-2ab=16-4=12
=> \(a^6+b^6=\left(a^2\right)^3+\left(b^2\right)^3=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)\)
=12((a2+b2)2-3a2b2=12(122-3.16)=1152
AV
17 tháng 9 2018
b) \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+2ab\\ \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\\ \Leftrightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\)
Nếu a = 4 => b = 3 => a+b = 7
=> a>=4 , ab>= 12 thì a+b >= 7