K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VH
1
8 tháng 10 2017
\(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+12=4a+4b+4c\\ \Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-4c+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2\left(dpcm\right)\)
1 tháng 9 2020
Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!
Câu b)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được:
=> \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
=> \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
DẤU "=" Xảy ra <=> \(a=b=c\)
Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!
MT
26 tháng 8 2015
( a + b + c )^2 = 3(ab+bc+ac)
<=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac
<=>a2+b2+c2-ab-bc-ac=0
<=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
<=>a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0
<=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
<=>a-b=0 và b-c=0 và c-a=0
<=>a=b=c
10 tháng 3 2018
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) :
Có \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{B}chung\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta HBA\) (g.g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}\)
\(\Rightarrow\) \(AB^2=HB\cdot BC\)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\):
Có \(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{C}chung\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta HAC\) (g.g) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\) \(\Rightarrow\) \(AC\cdot AC=BC\cdot HC\) \(\Rightarrow\) \(AC^2=BC\cdot HC\) b)
10 tháng 3 2021
Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c\) ( do $abc=1$ )
Tương tự ta có :
\(\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a\)
\(\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b\)
Cộng vế với vế các BĐT trên có :
\(\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 3 2021
\(VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}\)
\(VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
G
0
TT
2
14 tháng 3 2018
Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)
Cần C/m:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
Ta có:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)
=> ĐPCM
NC
0
cho tau mới giải cho
nhân cả ha vế với 2 ta được
\(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)
\(< =>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(< =>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\)
\(< =>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)với mọi a,b
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)với mọi b,c
\(\left(c-a\right)^2\ge0\)với mọi a,c
nên để \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) thì
\(< =>\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}< =>a=b=c}}}\)