Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x+y+z=xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
0
HL
26 tháng 6 2019
#) Giải
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
~ Hok tốt ~
26 tháng 6 2019
Bài giải
Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử \(1\le x\le y\le z\)
Theo bài ra \(1=\frac{1}{yz}+\frac{1}{yx}+\frac{1}{zx}< \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{3}{x^2}\)
\(\Rightarrow\text{ }x\le3\text{ }\Rightarrow\text{ }x=1\)
Thay vào đầu bài ta có : \(1+y+z=yz\text{ }\Rightarrow\text{ }y-yz+1=0\)
\(\Rightarrow\text{ }y\left(1-z\right)-\left(1-z\right)+2=0\)
\(\Rightarrow\text{ }\left(y-1\right)\left(1-z\right)=2\)
\(TH1\text{ : }y-1=1\text{ }\Rightarrow\text{ }y=2\text{ và }z-1=2\text{ }\Rightarrow\text{ }z=3\)
\(TH2\text{ : }y-1=2\text{ }\Rightarrow\text{ }y=3\text{ và }z-1=1\text{ }\Rightarrow\text{ }z=2\)
Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn \(\left(1\text{ , }2\text{ , }3\right)\text{ ; }\left(1\text{ , }3\text{ , }2\right)\)
LH
4
3 tháng 8 2016
Vai trò của \(x;y;z;t\)như nhau nên ta coi \(x\ge y\ge z\ge t\)
\(\Rightarrow2xyzt=5\left(x+y+z+t\right)+15\le20x+15\)
\(\Rightarrow xyzt\le10x+3\)
\(x\ge1\)( nguyên dương )
\(\Rightarrow yzt\le13\)
\(\Rightarrow3t\le13\)
\(\Rightarrow t\le4\)
- Với \(t=1:\)
\(2xyz.1=5\left(x+y+z+1\right)+15\)
\(2xyz=5\left(x+y+z\right)+20\le15x+20\)
\(\Rightarrow2yz\le35\)
\(\Rightarrow2.2z\le35\left(y\ge z\right)\)
\(\Rightarrow z\le8\)
Thôi nhiều trường hợp lắm bà tự giải theo hướng đó nhé. Tớ còn chưa học phương trình.
HP
5 tháng 8 2016
Lâu r ko làm thử bài pt nghiệm nguyên nào
\(5\left(x+y+z+t\right)+15=2xyzt\left(1\right)\)
Không mất tính tổng quát,giả sử \(1\le x\le y\le z\le t\)
Dễ thấy cả 2 vế đều khác 0,chia 2 vế của pt cho xyzt:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}\le\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{15}{x^3}=\frac{35}{x^3}\)
\(\Leftrightarrow2\le\frac{35}{x^3}\Leftrightarrow2x^3\le35\Leftrightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)
(*)x=1
\(=>2=\frac{5}{yz}+\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{yzt}\le\frac{35}{y^2}\)
\(=>2\le\frac{35}{y^2}=>2y^2\le35=>y^2\le\frac{35}{2}=>y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)
+x=1;y=1 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+25=2zt< =>5z+5t+25=2zt\)
\(< =>4zt=2\left(5z+5t+25\right)=10z+10t+50\)
\(< =>4zt-10z-10t-50=0< =>4zt-10z-10t+25=75\)
\(< =>2z\left(2t-5\right)-5\left(2t-5\right)=75< =>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75\)
Vì \(1\le z\le t=>-3\le2z-5\le2t-5\)
\(=>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75=75.1=25.3=15.5\)
Ta xét bảng:
| 2z-5 | 75 | 25 | 15 |
| 2t-5 | 1 | 3 | 5 |
Suy ra :(z;t)=(3;40);(4;15);(5;10)
+x=1;y=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+30=4zt< =>5z+5t+30=4zt\)
\(< =>16zt=4\left(5z+5t+30\right)< =>16zt=20z+20t+120\)
\(< =>16zt-20z-20t-140=0< =>16zt-20z-20t+25=145\)
\(< =>\left(4z-5\right)\left(4t-5\right)=145\)
Xét bảng.... => ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
+x=1;y=3 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=6zt< =>5z+5t+35=6zt\)
\(< =>36zt=6\left(5z+5t+35\right)< =>36zt=30z+30t+210\)
\(< =>36zt-30z-30t-210=0< =>36zt-30z-30t+25=135\)
\(< =>\left(6z-5\right)\left(6t-5\right)=235\)
Xét bảng=> ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
+x=1;y=4 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=8zt< =>5z+5t+40=8zt\)
\(< =>6zt=8\left(5z+5t+40\right)=40z+40t+320\)
\(< =>6zt-40z-40t-320=0< =>6zt-40z-40t+25=345\)
\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=345\)
Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
(*)x=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(y+z+t\right)+25=4yzt\),chia 2 vế của pt cho yzt:
\(< =>\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{25}{yzt}=4\le\frac{40}{y^2}< =>4y^2\le40< =>4\le y^2\le10\)
\(< =>y\in\left\{2;3\right\}\)
+x=2;y=2 thí \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=8zt< =>5z+5t+35=8zt\)
\(< =>64zt=8\left(5z+5t+35\right)=40z+40t+280\)
\(< =>64zt-40z-40t-280=0< =>64zt-40z-40t+25=305\)
\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=305\)
Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
+x=2;y=3 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=12zt< =>5z+5t+40=12zt\)
\(< =>144zt=60z+60t+480\)
\(< =>144zt-60z-60t-480=0< =>144zt-60z-60t+25=505\)
Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
Vậy pt (1) có các nghiệm (x;y;z;t) nguyên dương là (1;1;3;40);(1;1;5;10);(1;1;4;15) và các hoán vị của nó
KK
1
18 tháng 9 2017
Kushito Kamigaya tham khảo nhé:
x² + (x+y)² = (x+9)²
<=> (x+y)² = (x+9)² - x²
<=> (x+y)² = 9(2x+9) (*)
Vì: 9 = 3² nên từ (*) ta thấy (2x+9) phải là số chính phương
=> 2x+9 = n² => 2x = (n-3)(n+3) => x = (n-3)(n+3)/2
n-3 và n+3 cùng chẳn hoặc cùng lẽ, nên x nguyên dương khi n là số lẽ lớn hơn 3
đặt n = 2k+1 với k > 1, (k nguyên)
có: 2x + 9 = (2k+1)² = 4k²+4k+1
=> x = 2k²+2k-4, thay x vào (*)
(x+y)² = 9(2k+1)² => x+y = 3(2k+1) = 6k+3 => y = 6k+3-x
=> y = 6k + 3 - 2k² - 2k + 4 = -2k² + 4k + 7 > 0
=> k² - 2k < 7/2 => (k-1)² < 7/2+1 = 9/2
=> k-1 < 3/√2 => k - 1 ≤ 2 => k ≤ 3
với đk k > 1 ở trên ta chỉ chọn được k = 2 hoặc k = 3
*k = 2 => x = 8, y = 7
*k = 3 => x = 20, y = 1
PG
1
3 tháng 7 2019
\(x^2+x=y^4+y^3+y^2+y\) (1)
\(\Leftrightarrow4y^4+4y^3+4y^2+4y+1=4x^2+4x+1\)
\(\Leftrightarrow\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2x+1\right)^2\)
Ta có
\(\left(2y^2+y\right)^2< \left(2y^2+y\right)+3y^2+4y+1< \left(2y^2+y+2\right)^2\) (2)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y^2+4y+1>0\\\left(3y^2+y\right)^2+4\left(2y^2+y\right)+4-\left(2y^2+y\right)^2-3y^2-4y-1>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(y+1\right)\left(3y+1\right)>0\\5y^2+3>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y< -1\\y>\frac{-1}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow y\ne-1\)(do y là số nguyên)
lúc đó (1) xảy ra khi
\(\left(2x+1\right)^2=\left(2y^2+y+1\right)^2\) (3)
tức là \(\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2y^2+y+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2y^2+y\right)^2+2\left(2y^2+y\right)+1\)
\(\Leftrightarrow3y^2+4y=4y^2+2y\)
\(\Leftrightarrow y^2-2y=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=2\end{cases}}\)
Thay vào (3) tìm được y
Nghiệm (y,x) là (0,0),(0,-1),(2,5),(2,-6),(-1,0),(-1,-1)
LH
1
2 tháng 6 2016
- Căn bặc mấy, bạn?
- Nếu căn bậc nguyên dương thì chỉ có 4 nghiệm (x;y) = (0;-3); (0;-2); (0;-1); (0;0) vì 2 số tự nhiên liên tiếp là nguyên tố cùng nhau nên vế phải luôn là số vô tỷ ko bẳng vế trái là một số nguyên.
x=1; y=2; z=3
hoặc x=-1; y=-2; z=-3
+Xét \(x=y=z=0\)
+ Xét trong x;y;z có 1 số bằng 0
+ Xét \(x;y;z\ne0\)
Giả sử \(0< x\le y\le z\)
\(x+y+z=xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\le\frac{3}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2\le3\)
\(\Rightarrow x=1\)
Thay x=1 ta được:
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{yz}\le\frac{3}{y}\)
\(\Rightarrow y\le3\)
\(\Rightarrow y\in\left\{1;2;3\right\}\)
Bạn tự giải tiếp nhé