Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là \({45^o}\) và \({75^o}\). Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi BM=x km (0<x<7)
=> MC=7-x (km)
Ta có: \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {16 + {x^2}} \left( {km} \right)\)
Thời gian từ A đến M là: \(\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\left( h \right)\)
Thời gian từ M đến C là: \(\frac{{7 - x}}{5}\left( h \right)\)
Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{148}}{{60}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {16 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{3.\left( {7 - x} \right)}}{{15}} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3.\left( {7 - x} \right) = 37\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\\ \Leftrightarrow 25.\left( {16 + {x^2}} \right) = 9{x^2} + 96x + 256\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 96x + 144 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy khoảng cách từ vị trí B đến M là 3 km.
Đáp án B
Trước tiên ta xác định hàm số f(x) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.
Đặt BM= x , CM =7-x-> A M = x 2 + 25 . Theo đề ta có ngưới canh hải đăng chèo từ A đến M trên bờ biển với v = 4km/h rồi đi bộ đến C với v = 6 km/h
⇒ f ( x ) = x 2 + 25 4 + 7 − x 6 = 3 x 2 + 25 − 2 x + 14 12 với x ∈ ( 0 ; 7 )
f ' ( x ) = 1 12 3 x x 2 + 25 − 2 f ' ( x ) = 0 ⇔ 3 x x 2 + 25 − 2 = 0 ⇔ 3 x − 2 x 2 + 25 = 0 ⇔ 2 x 2 + 25 = 3 x ⇔ 5 x 2 = 100 x ≥ 0 ⇔ x = ± 2 5 x ≥ 0 ⇔ x = 2 5
Vậy đoạn đường ngắn nhất thì giá trị phải nhỏ nhất
f ( 0 ) = 29 12 f ( 2 5 ) = 14 + 5 5 12 f ( 7 ) = 74 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 14 + 5 5 12 tại x= 2 5
Nên thời gian đi ít nhât là BM= x = 2 5
Đáp án B
Trước tiên ta xác định hàm số f(x) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.
Đặt BM= x , CM =7-x ⇒ A M = x 2 + 25 . Theo đề ta có ngưới canh hải đăng chèo từ A đến M trên bờ biển với v = 4km/h rồi đi bộ đến C với v = 6 km/h
⇒ f ( x ) = x 2 + 25 4 + 7 − x 6 = 3 x 2 + 25 − 2 x + 14 12 với x ∈ ( 0 ; 7 )
f ' ( x ) = 1 12 3 x x 2 + 25 − 2 f ' ( x ) = 0 ⇔ 3 x x 2 + 25 − 2 = 0 ⇔ 3 x − 2 x 2 + 25 = 0 ⇔ 2 x 2 + 25 = 3 x ⇔ 5 x 2 = 100 x ≥ 0 ⇔ x = ± 2 5 x ≥ 0 ⇔ x = 2 5
Vậy đoạn đường ngắn nhất thì giá trị phải nhỏ nhất
f ( 0 ) = 29 12 f ( 2 5 ) = 14 + 5 5 12 f ( 7 ) = 74 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 14 + 5 5 12 tại x= 2 5
Nên thời gian đi ít nhât là BM= x = 2 5
Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số.
Cách giải: Gọi độ dài đoạn MB là x
Tam giác ABM vuông tại B =>
Thời gian người đó đi từ A tới C:
Xét hàm số f(x)
=> x = 2 5
Vậy, để người đó đến C nhanh nhất thì khoảng cách từ B đến M là 2 5
Gọi chân hải đăng là A thì ta để ý thấy. Lần đầu quan sát thì tam giác DAB là nửa tam giác đều
\(\Rightarrow DA^2+AB^2=DB^2\)
\(\Leftrightarrow DA^2+AB^2=4AB^2\)
\(\Leftrightarrow DA^2=3AB^2=3.75^2=11250\)
\(\Leftrightarrow DA=106,066\)
Lần thứ 2 quan sát thì tam giác CAB là tam giác vuông cân
\(\Rightarrow CA=AB=75\)
Vậy quãng đường thuyền đi được là:
\(DC=DA-CA=106,066-75=31,066\)
Đặt BM = x (0 ≤ x ≤ 7) => MC = 7 - x. Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABM có
Thời gian đi từ A đến M là
thời gian đi từ M đến C là
Tổng thời gian đi từ A đến C là
Bảng biến thiên
Để người đó đến kho nhanh nhất thì thời gian đi cần ít nhất, tức t đạt giá trị nhỏ nhất. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy t đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2√5 ≈ 4,5
Vậy vị trí điểm M cách B một khoảng là 4,5km thì người đó đến kho là nhanh nhất.
Chọn B
Gọi C là vị trí ngọn hải đăng và H là hình chiếu của C trên AB.
Khi đó CH là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển.
Ta có: \( \widehat {ACB} = \widehat {HBC} - \widehat {BAC} = {75^o} - {45^o} = {30^o}; \, \widehat {ABC} = {180^o} - {75^o} = {105^o}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)
\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {105^o}.\frac{{30}}{{\sin {{30}^o}}} \approx 58\)
Tam giác ACH vuông tại H nên ta có:
\(CH = \sin A.AC = \sin {45^o}.58 \approx 41\)
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển 41 m.