Question

[Minh Lê]

Giả sử giao điểm của các đường thẳng MN và EQ là H. Ta cần chứng minh H nằm trên đường thẳng PQ.

Xét tam giác QIH vuông tại I, ta có QI là đường cao và QE là đường vuông góc với QI nên tam giác QIE cũng vuông tại E. Do đó, ta có $\widehat{EQI} + \widehat{QIE} = 90^\circ$.

Tương tự, xét tam giác QFP vuông tại F, ta có $\widehat{FQP} + \widehat{QFP} = 90^\circ$.

Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

$\widehat{EQI} + \widehat{FQP} + \widehat{QFP} + \widehat{QIE} = 180^\circ$

Do đó, các đường thẳng EQ và FP cắt nhau tại H nằm trên đường thẳng PQ theo định lí cơ sở của hình học Euclid.

Vì vậy, ta có M, N, E, P, Q nằm trên cùng một đường thẳng.

Answer 1

[Minh Lê]

Để chứng minh rằng $M, N, E, P, Q$ là một điểm thẳng, ta cần chứng minh rằng chúng đồng quy, tức là nằm trên cùng một đường thẳng.

Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng $F, N, E$ đồng quy.

Từ câu hỏi b, ta biết rằng $QI \cdot EF = NI \cdot PI$. Nhân cả hai vế với $\frac{1}{QI}$, ta được:

$$\frac{EF}{QI} = \frac{NI}{QI} \cdot \frac{PI}{QI}$$

Do đó, ta có thể áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $NPQ$ và đường thẳng đi qua $F, N, E$ để suy ra rằng $F, N, E$ đồng quy.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng $M, N, F$ đồng quy. Ta có:

$$\widehat{FNM} = \widehat{QNP} = 90^\circ - \widehat{PNQ} = \widehat{PMQ} = \widehat{FQM}$$

Do đó, ta có thể áp dụng định lí Euclid đối với tam giác $FNM$ để suy ra rằng $M, N, F$ đồng quy.

Cuối cùng, ta chứng minh rằng $M, N, E$ đồng quy. Ta có:

$$\widehat{FNE} = \widehat{PNQ} = \widehat{PMQ} = \widehat{FNQ}$$

Do đó, ta có thể áp dụng định lí Euclid đối với tam giác $FNE$ để suy ra rằng $M, N, E$ đồng quy.

Vì $F, N, E$ và $M, N, F$ đồng quy, nên ta có $M, N, E, P, Q$ đồng quy. Do đó, chúng nằm trên cùng một đường thẳng, tức là $M, N, E, P, Q$ là một điểm thẳng.

Answer 2

[Minh Lê]

Đúng vậy, ta có $NMP = MQP = QPN = PNM = 90^\circ$. Khi đó, ta có thể suy ra được:

$\angle QNP = \angle QNM + \angle MNP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.$\angle QEP = 90^\circ - \angle EQN = 90^\circ - \angle MQN = \angle QMN$.$\angle EPQ = \angle MPQ - \angle MPE = 90^\circ - \angle QPN - (90^\circ - \angle QNM) = \angle QNM$.

Vậy ta có thể kết luận rằng $M, N, E, P, Q$ đồng thời nằm trên đường thẳng do $N$ và $Q$ tạo thành. Do đó, chúng ta có thể chứng minh được $M, N, E, P, Q$ là một điểm thẳng.