Chứng minh n4 - 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n là số tự nhiên lẻ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
16 tháng 7 2017
a) Phân tích 15 n + 15 n + 2 = 113.2. 15 n .
b) Phân tích n 4 – n 2 = n 2 (n - 1)(n +1).
LT
1
9 tháng 10 2019
Câu hỏi của Cỏ dại - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
SN
0
LT
4
2 tháng 11 2017
Đặt A = n^4 - 10n^2 + 9
= (n^4-n^2)-(9n^2-9) = (n^2-1).(n^2-9)
=(n-1).(n+1).(n-3).(n+3)
Vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 (k thuộc Z)
Khi đó A = 2k.(2k+2).(2k-2).(2k+4)
= 16.k.(k+1).(k-1).(k+2)
Ta thấy k-1;k;k+1;k+2 là 4 số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3
=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 3 và 8
=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 24 [vì(3;8)=1]
=>A chia hết cho 16.24 = 384 => ĐPCM
2 tháng 11 2017
n lẻ=>n=2k+1
Thay vào ta có n4-10n2+9=(2k+1)4+10(2k+1)2+9
=(4k2+4k+1)(4k2+4k+1)-40k2-40k-10+9
=16k4+32k3+24k2+8k+1-40k2-40k-1
=16k4+32k3-16k2-32k
=16k(k3+2k2-k-2)
=16k(k2(k+2)-(k+2))
=16k(k2-1)(k+2)
=>16k(k-1)(k+1)(k+2)
ta có (k-1),k,(k+1),(k+2) là 4 số tự nhiên liên tiếp
=>(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết cho 24
=>16(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết 384
Vậy...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 11 2021
Lời giải:
Theo công thức hằng đẳng thức thì:
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a-b$ (đpcm)
Với $n$ lẻ:
$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+....-ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a+b$ (đpcm)
18 tháng 3 2018
a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)
\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)
\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)
\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)
\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn
b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)
\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)
\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ
NL
0
NT
1
Đặt \(A=n^4-10n^2+9\)
\(n^4-n^2-9\left(n^2-1\right)=n.n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3
\(\Rightarrow A⋮3\)
Lại có: \(A=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
Do n lẻ, đặt \(n=2k+1\)
\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)
\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Do \(k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 8
\(\Rightarrow A⋮\left(16.8\right)\Rightarrow A⋮128\)
Mà 3 và 128 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮\left(128.3\right)\Rightarrow A⋮384\)
Thầy ơi cho em hỏi tại sao A lại chia hết cho 16.8 ạ ?? Thầy có thể giải thích được không ạ ?