Question

[Hà Dương Minh Đăng]

Giúp e tìm công thức tổng quát với ạ

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

9.

Đặt \(u_n=2v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{2015}{2}\\2v_{n+1}=8v_n^3-6v_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow v_{n+1}=4v_n^3-3v_n\)

Xét số thực a là nghiệm lớn hơn của pt:

\(a^2-2v_1a+1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=v_1+\sqrt{v_1^2-1}\\\dfrac{1}{a}=v_1-\sqrt{v_1^2-1}\end{matrix}\right.\)

Khi đó ta có:

\(v_1=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\)

\(v_2=4v_1^3-3v_1=4\left[\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\right]^3-3\left[\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^1}+\dfrac{1}{a^{3^1}}\right)\)

\(v_3=4v_2^3-3v_2=4\left[\dfrac{1}{2}\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)\right]^3-3\left[\dfrac{1}{2}\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)\right]=\dfrac{1}{2}\left(a^9+\dfrac{1}{a^9}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^2}+\dfrac{1}{a^{3^2}}\right)\)

Từ đó, ta tổng quát được: \(v_n=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{n-1}}}\right)\)

Ta chứng minh bằng quy nạp:

- Với \(n=1;2;3\) đúng như đã kiểm chứng ở trên

- Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(v_k=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)\)

Ta cần chứng minh: \(v_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^k}+\dfrac{1}{a^{3^k}}\right)\)

Ta có: \(v_{k+1}=4\left[\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)\right]^3-3\left[\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^k}+\dfrac{1}{a^{3^k}}\right)+\dfrac{3}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)-\dfrac{3}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^k}+\dfrac{1}{a^{3^k}}\right)\) (đpcm)

Vậy SHTQ của dãy là: \(u_n=2v_n=a^{3^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{n-1}}}\) với \(a\) là nghiệm lớn của pt: \(x^2-2015x+1=0\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

10.

Ta có: \(u_1=1=tan\dfrac{\pi}{4}=tan\dfrac{\pi}{2^2}\)

\(u_2=\dfrac{\sqrt{1+tan^2\dfrac{\pi}{4}}-1}{tan\dfrac{\pi}{4}}=\sqrt{2}-1=tan\dfrac{\pi}{8}=tan\dfrac{\pi}{2^3}\)

Dự đoán: \(u_n=tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\)

Ta chứng minh bằng quy nạp

Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng ở trên)

Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k=tan\dfrac{\pi}{2^{k+1}}\)

Ta cần chứng minh: \(u_{k+1}=tan\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\)

Thật vậy, ta có:

\(u_{k+1}=\dfrac{\sqrt{1+u_k^2}-1}{u_k}=\dfrac{\sqrt{1+tan^2\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}-1}{tan\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}=\dfrac{\dfrac{1}{cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}-1}{tan\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}\)

\(=\dfrac{1-cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}{sin\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}=\dfrac{2sin^2\dfrac{\pi}{2^{k+2}}}{2sin\dfrac{\pi}{2^{k+2}}.cos\dfrac{\pi}{2^{k+2}}}=tan\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\) (đpcm)