Giúp e tìm công thức tổng quát với ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HG
5
HP
10 tháng 12 2021
1.
\(\left(x^2+x\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}.\left(x^2\right)^{10-k}.x^k=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}.x^{20-k}\)
\(\Rightarrow20-k=12\Rightarrow k=8\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^{12}\) trong khai triển \(\left(x^2+x\right)^{10}\) là: \(C^8_{10}=45\)
HP
10 tháng 12 2021
2.
\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{13}=\sum\limits^{13}_{k=0}C^k_{13}.x^{13-k}.\dfrac{1}{x^k}=\sum\limits^{13}_{k=0}C^k_{13}.x^{13-2k}\)
\(\Rightarrow13-2k=7\Rightarrow k=3\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^7\) trong khai triển \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{13}\) là: \(C^3_{13}=286\)
HG
1
HP
10 tháng 12 2021
41.
Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(x^2+x\right)^{10}\):
\(T_{k+1}=C^k_{10}.\left(x^2\right)^{10-k}.x^k=C^k_{10}.x^{20-k}\)
\(\Rightarrow20-k=12\Rightarrow k=8\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^{12}\) trong khai triển \(\left(x^2+x\right)^{10}\) là: \(C^8_{10}\)
23 tháng 12 2021
\(u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2}\left(1\right)\)
\(u_1=3=\sqrt{9}\)
\(u_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{10}\)
\(u_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{11}\)
...
Dự đoán công thức:\(u_n=\sqrt{n+8}\),\(n\ge1\) (*)
Thật vậy
+)\(n=1,(*)\)\(\Leftrightarrow u_1=3\) (lđ)
+)Giả sử (*) đúng với mọi \(n=k,k>1\)
\((*)\Leftrightarrow u_k=\sqrt{k+8}\)
+)\(n=k+1,\) thay vào (1) có: \(u_{k+2}=\sqrt{1+u^2_{k+1}}=\sqrt{1+\left(\sqrt{1+u_k^2}\right)^2}=\sqrt{2+u^2_k}=\sqrt{2+k+8}=\sqrt{10+k}\)
\(\Rightarrow\)(*) đúng với n=k+1
Vậy CTSHTQ: \(u_n=\sqrt{n+8}\), \(n\ge1\)
CM
1 tháng 9 2019
Đáp án B
Ta có u n = u n u n + 2
⇔ 1 u n = u n + 2 u n = 1 + 2 u n
Đặt v n = 1 u n ⇒ v 1 = 1 v n = 1 + 2 v n - 1
⇒ v n = 2 n - 1 ⇒ u n = 1 2 n - 1
BC
1
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
18 tháng 9 2023
Ta có :\(S_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\left(n\in N^{\cdot}\right)\)
\(\Rightarrow S_{n-1}=1^2+2^2+3^2+...+\left(n-1\right)^2=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-1+1\right)\left(2n-2+1\right)}{6}=\dfrac{n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)}{6}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
\(u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{2}{3}\Rightarrow u_{n+1}-2=\dfrac{2}{3}\left(u_n-2\right)\)
Đặt \(u_n-2=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-2=1\\v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(q=\dfrac{2}{3}\Rightarrow v_n=1.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n=v_n+2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+2\)
CM
24 tháng 5 2018
* Ta có:
u 2 = 2 u 1 = 2.2 = 4 = 2 2 u 3 = 2 u 2 = 2.4 = 8 = 2 3 u 4 = 2 u 3 = 2.8 = 16 = 2 4 u 5 = 2 u 4 = 2.16 = 32 = 2 5
Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát u n có dạng: u n = 2 n ∀ n ≥ 1 ∗
* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức (*) đúng.
Với n=1 ; có: u 1 = 2 1 = 2 (đúng). Vậy (*) đúng với n= 1
Giả sử (*) đúng với n= k , có nghĩa ta có: u k = 2 k (2)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: u k + 1 = 2 k + 1 .
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:
u k + 1 = 2 u k = 2 . 2 k = 2 k + 1
Vậy (*) đúng với n = k+1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chọn đáp án B.
CM
3 tháng 11 2018
Ta có:
u 2 = u 1 + 2 = 3 + 2 = 5.
u 3 = u 2 + 2 = 5 + 2 = 7.
u 4 = u 3 + 2 = 7 + 2 = 9.
u 5 = u 4 + 2 = 9 + 2 = 11.
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát u n có dạng:
u n = 2 n + 1 ∀ n ≥ 1 ∗
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.
Với n =1 ; u 1 = 2 . 1 + 1 = 3 (đúng). Vậy (*) đúng với n =1
Giả sử (*) đúng với n =k. Có nghĩa ta có: u k = 2 k + 1 (2)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1 - có nghĩa là ta phải chứng minh:
u k + 1 = 2(k+1)+1= 2k + 3
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:
u k + 1 = u k +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3
Vậy (*) đúng khi n = k+1 .
Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
Đáp án B
9.
Đặt \(u_n=2v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{2015}{2}\\2v_{n+1}=8v_n^3-6v_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow v_{n+1}=4v_n^3-3v_n\)
Xét số thực a là nghiệm lớn hơn của pt:
\(a^2-2v_1a+1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=v_1+\sqrt{v_1^2-1}\\\dfrac{1}{a}=v_1-\sqrt{v_1^2-1}\end{matrix}\right.\)
Khi đó ta có:
\(v_1=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(v_2=4v_1^3-3v_1=4\left[\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\right]^3-3\left[\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^1}+\dfrac{1}{a^{3^1}}\right)\)
\(v_3=4v_2^3-3v_2=4\left[\dfrac{1}{2}\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)\right]^3-3\left[\dfrac{1}{2}\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)\right]=\dfrac{1}{2}\left(a^9+\dfrac{1}{a^9}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^2}+\dfrac{1}{a^{3^2}}\right)\)
Từ đó, ta tổng quát được: \(v_n=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{n-1}}}\right)\)
Ta chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=1;2;3\) đúng như đã kiểm chứng ở trên
- Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(v_k=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)\)
Ta cần chứng minh: \(v_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^k}+\dfrac{1}{a^{3^k}}\right)\)
Ta có: \(v_{k+1}=4\left[\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)\right]^3-3\left[\dfrac{1}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^k}+\dfrac{1}{a^{3^k}}\right)+\dfrac{3}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)-\dfrac{3}{2}\left(a^{3^{k-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{k-1}}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^{3^k}+\dfrac{1}{a^{3^k}}\right)\) (đpcm)
Vậy SHTQ của dãy là: \(u_n=2v_n=a^{3^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{3^{n-1}}}\) với \(a\) là nghiệm lớn của pt: \(x^2-2015x+1=0\)
10.
Ta có: \(u_1=1=tan\dfrac{\pi}{4}=tan\dfrac{\pi}{2^2}\)
\(u_2=\dfrac{\sqrt{1+tan^2\dfrac{\pi}{4}}-1}{tan\dfrac{\pi}{4}}=\sqrt{2}-1=tan\dfrac{\pi}{8}=tan\dfrac{\pi}{2^3}\)
Dự đoán: \(u_n=tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\)
Ta chứng minh bằng quy nạp
Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng ở trên)
Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k=tan\dfrac{\pi}{2^{k+1}}\)
Ta cần chứng minh: \(u_{k+1}=tan\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\)
Thật vậy, ta có:
\(u_{k+1}=\dfrac{\sqrt{1+u_k^2}-1}{u_k}=\dfrac{\sqrt{1+tan^2\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}-1}{tan\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}=\dfrac{\dfrac{1}{cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}-1}{tan\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}\)
\(=\dfrac{1-cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}{sin\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}=\dfrac{2sin^2\dfrac{\pi}{2^{k+2}}}{2sin\dfrac{\pi}{2^{k+2}}.cos\dfrac{\pi}{2^{k+2}}}=tan\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\) (đpcm)