Cho hàm số y=\(\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\)
Chứng minh rằng:
a) \(2\sqrt{1+x^2}y'=y\)
b) \(4\left(1+x^2\right)y''+4xy'-y=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 8 2022
\(C=\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+2\sqrt{xy}+y-x-y}{\left(\sqrt{x+y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\right)^2}-\dfrac{x+y}{2\sqrt{xy}}-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4xy}\)
\(=\dfrac{\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4xy}-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4xy}-\dfrac{x+y}{2\sqrt{xy}}\)
\(=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+y+2\sqrt{xy}\right)-\left(x+y\right)^2}{4xy}-\dfrac{x+y}{2\sqrt{xy}}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{4xy}-\dfrac{x+y}{2\sqrt{xy}}\)
\(=\dfrac{x+y-x-y}{2\sqrt{xy}}=0\)
N
16 tháng 3 2017
gợi ý nè
1) \(ab+c=ab+c\left(a+b+c\right)\)....
2) nhiều cách lắm nhưng tớ chỉ đưa ra 2 cách ...có vẻ hay
đặt \(\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b\)
=>a3+b3=a4+b4=a5+b5
c1: ta có: \(\left(a^3+b^3\right)\left(a^5+b^5\right)=\left(a^4+b^4\right)^2\)......
c2: a5+b5=(a+b)(a4+b4)-ab(a3+b3)
=> 1=(a+b)-ab .......
3) try use UCT
4) tính sau =))
28 tháng 2 2019
áp dụng cauchy ngược dấu là xong nhé bạn :>> mình ko đánh đc sorry bạn
2 tháng 10 2020
c) Đặt \(a=\sqrt{x-4},b=\sqrt{y-4}\)với \(a,b\ge0\)thì pt đã cho trở thành:
\(2\left(a^2+4\right)b+2\left(b^2+4\right)a=\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\). chia 2 vế cho \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\)thì pt trở thành :
\(\frac{2b}{b^2+4}+\frac{2a}{a^2+4}=1\). Để ý rằng a=0 hoặc b=0 không thỏa mãn pt.
Xét \(a,b>0\). Theo BĐT AM-GM ta có: \(b^2+4\ge2\sqrt{4b^2}=4b,a^2+4\ge4a\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{2a}{4a}+\frac{2b}{4b}=1\), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a^2=4\\b^2=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2\Leftrightarrow x=y=8}\)
Vậy x=8,y=8 là nghiệm của pt
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2020
\(\left(x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}\right)\left(y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}\right)=0\) (1)
Nhân 2 vế với \(\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) và rút gọn
\(\Rightarrow y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) (2)
Nhân 2 vế của (1) với \(\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) và rút gọn
\(\Rightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}=\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) (3)
Cộng vế với vế (2) và (3) và rút gọn:
\(\Rightarrow y+x=-x-y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)
a. Có \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}.\left(x+\sqrt{x^2}+1\right)=\frac{1}{2y}.\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{1}{2y}.\left(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)\)
\(\rightarrow y'=\frac{y^2}{2y\sqrt{x^2+1}}=\frac{y}{2\sqrt{x^2+1}}\)
\(\rightarrow2\sqrt{x^2+1}y'=y\)
b. Theo câu a. có
\(y'=\frac{y}{2\sqrt{x^2+1}}\)
\(\rightarrow y''=\frac{y'.2\sqrt{x^2+1}-y.\left(2\sqrt{x^2+1}\right)'}{4\left(x^2+1\right)}\)
\(\rightarrow4\left(x^2+1\right)y''=2y'\sqrt{x^2+1}-y\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}=y-\frac{4xy}{2\sqrt{x^2+1}}=y-4xy^2'\)
\(\rightarrow4\left(1+x^2\right)y''+4xy'-y=0\)
Câu a: Ta có:
\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}\left(x+\sqrt{x^2}+1\right).\)
\(=\frac{1}{2y}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{1}{2y}\left(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)\)
\(\rightarrow y'=\frac{y^2}{2y+\sqrt{x^2+1}}=\frac{y}{2\sqrt{x^2+1}}\)
\(\rightarrow2\sqrt{x^2+1}y'=y\)
b) theo câu a, ta có:
\(y'=\frac{y}{2\sqrt{x^2+1}}\)
\(y"=\frac{y'2\sqrt{x^2+1}-y\left(2\sqrt{x^2+1}\right)}{4\left(x^2+1\right)}\)
\(\rightarrow4\left(x^2+1\right)y"=2y'\sqrt{x^2+1}-y\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(=y-\frac{4xy}{2\sqrt{x^2+1}}=y-4xy^{2'}\)
\(\rightarrow4\left(1+x^2\right)y"+4xy'-y=0\)