Chứng minh: a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 8 2016
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
6 tháng 7 2021
a) Xét ΔABC vuông tại A có
\(\left\{{}\begin{matrix}\sin\widehat{A}=\dfrac{BC}{BC}=1\\\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}\\\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{BC}{1}=BC\)
\(\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{AC}{\dfrac{AC}{BC}}=BC\)
\(\dfrac{AB}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{AB}{\dfrac{AB}{BC}}=BC\)
Do đó: \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{C}}\)
b) Ta có: \(2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\widehat{A}\)
\(=2\cdot AB\cdot AC\cdot0\)
=0
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\widehat{A}\)
TH
0
18 tháng 4 2016
Ta có (a+b)2 >=0 => a2 + 2ab + b2 >= 0 => a2 + b2 >= 2ab. (1)
(b+c)2 >=0 => b2 + 2bc + c2 >= 0 => b2 + c2 >= 2bc. (2)
(c+a)2 >=0 => c2 + 2ca + a2 >= 0 => c2 + a2 >= 2ca. (3)
Cộng (1), (2), (3), theo vế ta có 2(a2 + b2 + c2)>=2(ab+bc+ca)
suy ra a2 + b2 + c2>=ab+bc+ca (*)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a+b>c => ac+bc>c2. (4)
b+c>a => ab+ac>a2. (5)
c+a>b => bc+ab>b2. (6)
Cộng (4), (5), (6) theo vế ta có 2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2(**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm.
16 tháng 6 2022
a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có
góc B chung
Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCBA
Suy ra: BA/BC=BH/BA
hay \(BA^2=BH\cdot BC\)
Xét ΔACH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có
góc C chung
Do đo: ΔACH\(\sim\)ΔBCA
Suy ra: CA/CB=CH/CA
hay \(CA^2=CH\cdot CB\)
b: \(BC^2=AB^2+AC^2\)
c: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có
\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)
Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCHA
Suy ra: HA/HC=HB/HA
hay \(HA^2=HB\cdot HC\)
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 7 2021
Trong trường hợp góc A vuông thì bài toán trở thành: \(a^2=b^2+c^2\) đúng theo Pitago
Trong trường hợp góc A nhọn:
Kẻ đường cao BH (H thuộc AC) \(\Rightarrow AH=AB.cosA=c.cosA\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABH:
\(BH^2=AB^2-AH^2=c^2-AH^2\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông BCH:
\(BC^2=BH^2+CH^2\Leftrightarrow a^2=c^2-AH^2+CH^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=c^2-AH^2+\left(AC-AH\right)^2=c^2-AH^2+\left(AC^2-2AC.AH+AH^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2=c^2-AH^2+b^2-2b.AH+AH^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-2b.AH=b^2+c^2-2bc.cosA\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 7 2021
Trong trường hợp góc A tù làm hoàn toàn tương tự:
\(a^2=BH^2+CH^2=c^2-AH^2+\left(b+AH\right)^2=c^2+b^2+2b.AH\)
\(=b^2+c^2+2b.AB.cos\widehat{BAH}=b^2+c^2-2bc.cosA\)
(a-b)^2 >= 0 => a^2+b^2-2ab>=0 => a^2+b^2>=2ab (1)
cm tương tự ta được b^2 + c^2 >= 2bc (2) ; c^2 + a^2>=2ac (3);
từ (1). (2), (3) ta được 2(a^2+b^2+c^2) >= 2ab + 2bc + 2ac
=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc +ca (đpcm)
Ta có a2 + b2 + c2 >= ab+bc+ac
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 +c2 -ab-bc-ac>= 0
\(\Leftrightarrow\) 2a2 + 2b2+2c2-2ab-2ac-2bc >=0
\(\Leftrightarrow\) (a-b)2 +(a-c)2 +(b-c)2 >=0( luôn đúng)
Vậy.... Dấu "=" xảy ra khi a=b=c