Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh ab+bc+ca ≤ \(\dfrac{3}{4}\)
Chứng minh bằng cách lớp 8 giúp mình ạ 🙏 🙏 🙏
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
Với mọi số thực dương a;b;c ta có BĐT:
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Tương tự, ta có:
\(VT\le\dfrac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}+\dfrac{bc}{bc\left(b^2+c^2\right)+bc}+\dfrac{ca}{ca\left(c^2+a^2\right)+ca}\)
\(VT\le\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+c^2+1}+\dfrac{1}{c^2+a^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT\le\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\)
Ta lại có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=a^2+b^2+c^2\)
Mặt khác ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-3=9\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Từ đó suy ra đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Tách biểu thức như sau:
\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Đầu tiên em phải dự đoán được điểm rơi (các cặp a;b;c đẹp sao cho \(ab=12\) và \(bc=8\), có các bộ là \(\left(6;2;4\right);\left(3;4;2\right)\)
Sau đó thay 2 bộ kia vào P xem cái nào bằng \(\dfrac{121}{12}\) thì nó đúng (ở đây là 3;4;2)
Khi có điểm rơi, bây giờ chỉ cần tính toán và ghép theo AM-GM để khử tử- mẫu
Cần ghép \(\dfrac{8}{abc}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\) (AM-GM 4 số sẽ khử hết biến)
\(\dfrac{8}{abc}=\dfrac{8}{3.4.2}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=9;y=12;z=6\)
Hay ta có bộ đầu tiên: \(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\)
Tương tự cho các biến dưới mẫu còn lại, phần dư cuối cùng sẽ ghép cặp a với b (tận dụng \(ab\ge12\)) và b với c, nó sẽ tự đủ
1 tháng 9 2018
Ta có:(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc≥(a+b+c)(ab+bc+ca)−19(a+b+c)(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc≥(a+b+c)(ab+bc+ca)−19(a+b+c)(ab+bc+ca)
⇔1≥89(a+b+c)(ab+bc+ca)⇔1≥89(a+b+c)(ab+bc+ca)
⇔8164≥(a+b+c)2(ab+bc+ca)2≥3(ab+bc+ca)3⇔8164≥(a+b+c)2(ab+bc+ca)2≥3(ab+bc+ca)3
⇔34≥ab+bc+ca⇒⇔34≥ab+bc+ca⇒ đpcm
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$(a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc$
$\Rightarrow abc\leq \frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$. Do đó:
$(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc$
$\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)-\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)}{9}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\leq \frac{9}{8}(*)$
Mà cũng theo BĐT Cô-si:
$1=(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3$
$\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{9}{8}.\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{9}{8}.\frac{2}{3}=\frac{3}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$