Question

[Đỗ Thị Thu Loan]

Chứng minh bất đẳng thức:

\(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\leq \sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\)

Mọi người giúp mình với ạ, mình cần gấp!! Cảm ơn ạ 

Answer 1

[IS]

mình nghĩ đề nó như thế này

\(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2-\left(b+d^{ }\right)^2}\)

hai zế BĐT ko âm nên bình phương 2 zế ta có

\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\left(1\right)\)

Nếu \(ac+bd< 0\)thì BĐT đc c/m

Nêu \(ac+bd\ge0\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2acbd\ge0\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

dấu = xảy ra khi \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)