Vừa thấy bài BĐT có lời giải khá hay nè ( ở đây cấm SOS :v )
Cho x,y,z thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=1\) Tìm GTLN của \(P=9xy+10yz+11zx\)
Gợi ý:Delta :D
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
14
TN
6 tháng 4 2017
Cho \(P=9xy+10yz+11xz\), với \(x+y+z=1\) thì
\(P=9xy+10yz+11xz=9xy+z\left(10y+11x\right)\)\(=9xy+\left(1-x-y\right)\left(10y+11x\right)\)
Khai triển và rút gọn, ta thu được
\(P=-11x^2-10y^2+11x+10y-12xy\)
\(\Leftrightarrow11x^2+\left(12y-11\right)x+10y^2-10y+P=0\)(*)
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, , do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức là
\(\Delta=\left(12y-11\right)^2-44\left(10y^2-10y+P\right)\ge0\)
Hay \(-296y^2+176y+121-44P\ge0\)
\(\Leftrightarrow P\le-\frac{74}{11}\left(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\right)\)
Dễ thấy: \(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\ge-\frac{5445}{10952}\)
\(\Rightarrow P\le\left(-\frac{74}{11}\right)\cdot\left(-\frac{5445}{10952}\right)=\frac{195}{148}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=\frac{25}{74};y=\frac{11}{37};z=\frac{27}{74}\)
T/b: giải toán với sự trợ giúp của Wolfram|Alpha, bài này còn có cách hệ số bất định uct nhưng mình chưa hiểu lắm, để mai hỏi cô r` post cho :))
7 tháng 4 2017
Dùng hệ số bất định giải
Ta có:
\(9xy+10yz+11zx=5\left(xy+zx\right)+4\left(yz+xy\right)+6\left(zx+yz\right)\)
\(=5x\left(1-x\right)+4y\left(1-y\right)+6z\left(1-z\right)=\left(5x-5x^2\right)+\left(4y-4y^2\right)+\left(6z-6z^2\right)\)
\(=\frac{255}{148}+\frac{60}{37}\left(x+y+z\right)-\left(5x^2-\frac{125x}{37}+\frac{3125}{5476}\right)-\left(4y^2-\frac{88y}{37}+\frac{484}{1369}\right)-\left(6z^2-\frac{162z}{37}+\frac{2187}{2738}\right)\)
\(=\frac{495}{148}-5\left(x-\frac{25}{74}\right)^2-4\left(y-\frac{11}{37}\right)^2-6\left(z-\frac{27}{74}\right)^2\le\frac{495}{148}\)
Vậy GTLN là \(\frac{495}{148}\)đạt được khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{25}{74}\\y=\frac{11}{37}\\z=\frac{27}{74}\end{cases}}\)
LT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 2 2020
\(A=9xy+\left(10y+11x\right)\left(1-x-y\right)\)
\(=-11x^2-10y^2-12xy+11x+10y\)
\(=-11\left(x+\frac{6}{11}y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{74}{11}\left(y-\frac{11}{37}\right)^2+\frac{495}{148}\le\frac{495}{148}\)
\(A_{max}=\frac{495}{148}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{25}{74}\\y=\frac{11}{37}\\z=\frac{27}{74}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 11 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
hehe :)))) tam thức bậc 2 anh êi
P=9xy+10yz+11zx=9xy+z(10y+11x)=9xy(1-x-y)(10y+11x)
khai triển và rút gọn ta được :
\(P=-11x^2-10y^2+11x+10y-12xy\)
tương đương với :
\(11x^2+\left(12y-11\right)x+10y^2-10y+P\ge0\)(1)
Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn x do đk của x => (1) phải có nghiệm hay
\(\Delta-\left(12y-11\right)^2-44\left(10y^2-10y+P\right)\ge0\)
Hay \(-296y^2+176y+121-44P\ge0\)
tương đương với
\(P\le-\frac{74}{11}\left(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\right)\)
dùng phép tách thành bình phương ; ta dễ thấy :
\(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\ge-\frac{5445}{10952}\)
=> \(P\le\left(\frac{74}{-11}\right).\left(-\frac{5445}{10952}\right)-\frac{495}{148}\)
vậy \(MaxP=\frac{495}{148}\)đạt được khi \(y=\frac{11}{37};x=\frac{25}{74};z=\frac{27}{74}\)