Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Rightarrow2\ge3x^2+2y^2+2z^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2\)
\(\Rightarrow\)\(A^2\le2\) \(\Leftrightarrow A\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)
minA=-1\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=-\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
maxA=1\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
\(2=x^2+y^2+z^2\ge y^2+z^2\ge2yz\Rightarrow yz\le1\)
\(P=x\left(1-yz\right)+y+z\Rightarrow P^2\le\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-yz\right)^2+1\right]\)
\(P^2\le\left(2+2yz\right)\left(y^2z^2-2yz+2\right)\)
\(P^2\le2\left(yz\right)^3-2\left(yz\right)^2+4=2y^2z^2\left(yz-1\right)+4\le4\)
\(\Rightarrow P\le2\)
\(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị
gọi a là 1 giá trị của biểu thức P, khi đó ta có a = 2xy + 3yz + 4xz
Thay z = 1 - x - y, ta được :
a = 2xy + 3y ( 1 - x - y ) + 4x ( 1 - x - y )
\(\Leftrightarrow4x^2+\left(5y-4\right)x+3y^2-3y+a=0\)
PT có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(5y-4\right)^2-4.4\left(3y^2-3y+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-23y^2+8y+16\ge16a\)
Vì \(-23y^2+8y+16=-23\left(y-\frac{4}{23}\right)^2+\frac{384}{23}\le\frac{384}{23}\)
\(\Rightarrow16a\le\frac{384}{23}\Rightarrow a\le\frac{24}{23}\Rightarrow P\le\frac{24}{23}\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{24}{23}\)
quên còn dấu "="
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\y=\frac{4}{23}\\x=\frac{4-5y}{8}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{23}\\y=\frac{4}{23}\\z=\frac{10}{23}\end{cases}}}\)
\(A=9xy+\left(10y+11x\right)\left(1-x-y\right)\)
\(=-11x^2-10y^2-12xy+11x+10y\)
\(=-11\left(x+\frac{6}{11}y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{74}{11}\left(y-\frac{11}{37}\right)^2+\frac{495}{148}\le\frac{495}{148}\)
\(A_{max}=\frac{495}{148}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{25}{74}\\y=\frac{11}{37}\\z=\frac{27}{74}\end{matrix}\right.\)