Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo đề bài ta có:
\(2\left(y^2+1\right)+6\ge\left(x^4+1\right)+\left(y^4+4\right)+\left(z^4+1\right)\ge2x^2+4y^2+2z^2\)
\(\Rightarrow0< x^2+y^2+z^2\le4\)
Đặt: \(t=x^2+y^2+z^2.Đkxđ:0< t\le4\)
Ta có: \(\sqrt{2}\left(x+y\right)y=\sqrt{2x}y+\sqrt{2z}y\le\frac{2x^2+y^2}{2}+\frac{2z^2+y^2}{2}=x^2+y^2+z^2\)
\(P\le x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2+y^2+z^2+1}=t+\frac{1}{t+1}=f\left(t\right)\)
Xét hàm: \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t+1}\) liên tục trên \(\left(0;4\right)\)
\(f'\left(t\right)=1-\frac{1}{\left(t+1\right)^2}>0\forall t\in\left\{0;4\right\}\)nên:
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left\{0;4\right\}\)
\(\Rightarrow P\le f\left(t\right)\le f\left(4\right)=\frac{21}{5}\forall t\in\left(0;4\right)\)
\(\Rightarrow P_{Min}=\frac{21}{5}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=z=1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)
Vậy ....................
ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡
có cách nào không dùng hàm k ???
ĐKXĐ : \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\)
Áp dụng ( a+b)2 \(\ge4ab\)ta có :
( x+ 2y)2 = \(\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4.\left(\frac{2x+y}{2}\right).\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự : \(\frac{2y+z}{y\left(y+2\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{2z+x}{z.\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
=> \(A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Ta có : \(\sqrt{\left(2x-1\right)1}\le\frac{2x-1+1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le x\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
\(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\)
\(\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Do đó
A \(\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Vậy Max A = 3 khi x = y = z = 1
Theo Cô-si ta có:
\(3=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
Xét:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}=\frac{1}{3}\left[\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+2y\right)}+\frac{\left(y-z\right)^2}{yz\left(y+2z\right)}+\frac{\left(z-x\right)^2}{zx\left(z+2x\right)}\right]\ge0\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le3\)
Áp dụng BĐT AM-GM: $VP\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
Cần c/m: $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}$\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
$\Leftrightarrow (yz+zx+xy)(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})+4(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq 25xyz+4(yz+zx+xy)+16$
BĐT trên sẽ được c/m nếu c/m được: $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq 4$.
KMTTQ, g/sử y nằm giữa x và z. $\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$
$\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq y(x^{2}+xz+z^{2})\leq y(x+z)^{2}$
Đến đây áp dụng BĐT AM-GM:
$y(x+z)^{2}=4.y.(\frac{x+z}{2})(\frac{x+z}{2})\leq \frac{4(y+\frac{x+z}{2}+\frac{x+z}{2})^{3}}{27}=\frac{4(x+y+z)^{3}}{27}=4$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $x=0;y=1;z=2$
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:
\(VT=\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+zx^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)\(\le\frac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\le\frac{21+\frac{\left(\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\)
Dấu "=" xảy ra <=> (x;y;z)=(2;1;0) và hoán vị của nó
Em không chắc đâu nha!
Từ đề bài suy ra \(0\le x;y;z\le1\Rightarrow x\left(1-x\right)\ge0\Rightarrow x\ge x^2\)
Tương tự với y với z.Ta có:
\(P=\sqrt{x^2+x^2+x+1}+\sqrt{y^2+y^2+y+1}+\sqrt{z^2+z^2+z+1}\)
\(\le\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{y^2+2y+1}+\sqrt{z^2+2z+1}\)
\(=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}\)
\(=\left|x+1\right|+\left|y+1\right|+\left|z+1\right|\)
\(=\left(x+y+z\right)+3=1+3=4\)
Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó.
Vậy....