K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 2 2020

Bài này áp dụng BĐT này nhé , với x,y > 0 ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ( Cách chứng minh thì chuyển vế quy đồng nhé )

Áp dụng vào bài toán ta có :

\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(z+x\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+x}\right)\)

                                                           \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

Tương tự ta có :

\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)

Do đó : \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\) (đpcm)

27 tháng 2 2020

Ta có: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

                  \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)

Cộng vế theo vế có: \(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=1\)

16 tháng 9 2018

Với 2 số dương bất kì: ( 1 )

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)Vì x và y dương nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)

Áp dụng ( 1 ): \(\frac{4}{2x+y+z}=\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Mà: \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Nên: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Và \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức kết hợp với điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) nên ta có đpcm

28 tháng 7 2019

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}\\\frac{1}{2z+y+x}=\frac{1}{z+y+x+z}\\\frac{1}{2y+x+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{z+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{1}{z+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2z+x+y}+\frac{1}{2y+z+x}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot4=1\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=0,75\)

3 tháng 8 2019

bùi huyền ơi làm sao để k cho bạn được

14 tháng 3 2018

Theo Cauche có: 

\(\left(x+x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4\sqrt[4]{x^2yz}.4\sqrt[4]{\frac{1}{x^2.y.z}}=16\)

=> \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\). Tương tự có: 

\(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{x+2y+z}\) và \(\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge\frac{16}{x+y+2z}\)

=> \(16.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

\(16.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le4.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4.4=16\)

Chia cả 2 vế cho 16 => ĐPCM

16 tháng 1 2016

Nhanh to cho card 20

 

10 tháng 12 2017

bạn ơi hình như có chút sai đề

23 tháng 5 2019

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)

\(=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}+\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\)

23 tháng 5 2019

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{16}.\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{2x+y+z}\)

CMTT: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\), \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{16}.16=1\)

\(''=''\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\)