Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: S = \(\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
28 tháng 3 2017
Hình như đề là a2+b2 thôi chứ có cả 1+a2+b2 luôn à? Mình làm theo cái đề có a2+b2 chứ không có +1 nhé!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schawrz dạng Engel ta được:
\(B=\frac{1^2}{a^2+b^2}+\frac{1^2}{2ab}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\)
mà a;b>0 => a+b>0 và \(a+b\le1\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le1\) => \(\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
=>\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4\Rightarrow B_{min}=4\) <=> a=b=0,5
TN
29 tháng 3 2017
@Trà My: có 1+a2+b2 thì vẫn có Min vấn đề là chưa đủ trình độ mà còn đòi tự sửa đề
VT
22 tháng 9 2017
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
VT
22 tháng 9 2017
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin
D
16 tháng 11 2018
\(2a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}-2\right)+\left(a^2+\frac{b^2}{4}-ab\right)=4-ab-2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=2-ab\)
\(VF=2-ab=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{b}{2}\right)^2\ge0\)
Hay \(ab\le2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{a}\\b=\frac{b}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a;b\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)\\\left(a;b\right)=\left(-1;-\frac{1}{2}\right)\end{cases}}\)
NH
2
25 tháng 7 2017
\(S=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
\(S=\left(1+\frac{1}{1-b}\right)\left(1+\frac{1}{1-a}\right)\)
\(S=\frac{1-b+1}{1-b}\times\frac{1-a+1}{1-a}\)
\(S=\frac{\left(2-b\right)\left(2-a\right)}{\left(1-b\right)\left(1-a\right)}\)
\(S=\frac{4-2a-2b+ab}{1-a-b+ab}=\frac{4-2\left(a+b\right)+ab}{1-\left(a+b\right)+ab}\)
\(S=\frac{4-2+ab}{1-1+ab}=\frac{2+ab}{ab}=1+\frac{2}{ab}\)(*)
từ \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow4ab\le1\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{1}{ab}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{ab}\ge8\)(1)
thay (1) vào (*) có
\(S=1+\frac{2}{ab}\ge1+8=9\)
vậy GTNN của \(S=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
12 tháng 11 2016
a+b=2=> a=2-b
\(\Rightarrow\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\left(\frac{b^2-4}{b^2}\right)=\frac{\left(2-b\right)^2-4}{\left(2-b\right)^2}.\frac{b^2-4}{b^2}\)
=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)
đặt A=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)
đkxđ \(\hept{\begin{cases}b\ne0\\b\ne2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow Ab^2-2bA=b^2-2b-8\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)b^2-2\left(A-1\right)b+8=0\)
nếu A=1 => 8=0 (vô lý)
nếu A khác 1 pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left[-2\left(A-1\right)\right]^2-4\left(A-1\right).8\ge0\)
\(4A^2-40A+36\ge0\Leftrightarrow A^2-10A+9\ge0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}A\le1\\A\ge9\end{cases}}\)
GTNN A=9 dấu "=" <=> a=b=1
bạn ơi mình đặt nhầm B thành A rồi bn tự sửa lại nhé!
12 tháng 11 2016
\(B=\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{2}{a}\right)\left(1-\frac{2}{b}\right)\left(1+\frac{2}{a}\right)\left(1+\frac{2}{b}\right)\)
\(=\frac{\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab.\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab+2\left(a+b\right)+4}{ab}=\frac{8}{ab}+1\)
Theo BĐT Cauchy thì : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Suy ra : \(A\ge\frac{8}{\frac{2^2}{4}}+1=9\).Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2
Vậy ......................................
\(S=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{\frac{1}{9}}{2ab}+\frac{4}{9ab}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{1+a^2+b^2+2ab}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\)
\(S\ge\frac{\frac{16}{9}}{1+\left(a+b\right)^2}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\ge\frac{\frac{16}{9}}{1+1}+\frac{16}{9}=\frac{8}{3}\)
\(S_{min}=\frac{8}{3}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)