Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy: \(a+b\le1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le1-b\\b\le1-a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1+a\le2-b\\1+b\le2-a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{1+b}\ge\frac{a}{2-a}\\\frac{b}{1+a}\ge\frac{b}{2-b}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{1}{a+b}\)
\(=\frac{2}{2-a}-1+\frac{2}{2-b}-1+\frac{1}{a+b}=\frac{2}{2-a}+\frac{2}{2-b}+\frac{1}{a+b}-2\)
\(=2\left(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}-1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{4-\left(a+b\right)+2\left(a+b\right)}=\frac{9}{4+a+b}\)
Lại có: \(a+b\le1\Rightarrow4+a+b\le5\Rightarrow\frac{9}{4+a+b}\ge\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{5}\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}-1\right)\ge\frac{8}{5}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{8}{5}.\)
Vậy \(Min_S=\frac{8}{5}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{2}{5}.\)
Bài này dễ ẹc, cho tí não vào là ok
Giải
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\) khi đó ta tìm dc \(S=2\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của \(S\)
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(Σ\frac{a^2+b}{b+c}\ge\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\)
Vậy ta chỉ cần chứng minh rằng \(\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)
BĐT cuối cùng có thể biến đổi như sau:
\(1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)
\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2-2Σa^3+2Σab\)
\(\Leftrightarrow\left(Σa^2\right)^2+2Σa^3\geΣa^2\) điều này đúng, vì
\(Σa^3\ge\frac{Σa^2}{3}\)(BĐT Chebyshev). Và \(\left(Σa^2\right)^2\ge\frac{Σa^2}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz và Cauchy ta có:
\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\ge\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2\cdot\frac{9}{b^2+c^2}\) (Cauchy - Schwarz)
\(=\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}\right)+8\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}}+8\cdot\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy)
\(=2+8=10\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)
Vậy Min(P) = 10 khi \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin