Cho \(a+b+c=3\) và \(a,b,c>0\)
Tìm \(S_{min}=a^3+8b^3+c^3\)
Mọi người dùng cân bằng hệ số mak đưa tham số giả định vào để lm dc ko ạ.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 8 2019
Ta có M=a(b+c)+3b(c+a)+5c(a+b)=a(3-a)+3b(3-b)+5c(3-c)=\(\frac{81}{4}\)-\(\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(b-\frac{3}{2}\right)^2+5\left(c-\frac{3}{2}\right)^2\)
Đặt x=\(\left|a-\frac{3}{2}\right|\),y=\(\left|b-\frac{3}{2}\right|\),z=\(\left|c-\frac{3}{2}\right|\)=>x+y+z\(\ge\left|a+b+c-\frac{9}{2}\right|=\frac{3}{2}\)
Khi đó M=\(\frac{81}{4}-\left(x^2+3y^2+5z^2\right)\)
Đưa thêm các tham số\(\alpha,\beta,\gamma>0\)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(x^2+\alpha^2\ge2x\alpha\)(1);\(3y^2+3\beta^2\ge6y\beta\)(2);\(5z^2+5\gamma^2\ge10z\gamma\)(3)
Suy ra: \(M-\alpha^2-3\beta^2-5\gamma^2\le\frac{81}{4}-2\left(x\alpha+3y\beta+5z\gamma\right)\)
Ta chọn \(\alpha=3\beta=5\gamma\)\(\Rightarrow M\le\frac{81}{4}+\alpha^2+3\beta^2+5\gamma^2-2\alpha\left(x+y+z\right)\)\(\le\frac{81}{4}+\alpha^2+3\beta^2+5\gamma^2-3a\)
Ta thấy dấu bằng các bất đẳng thức (1),(2),(3) xảy ra khi \(x=\alpha,y=\beta,z=\gamma\)\(\Rightarrow\alpha+\beta+\gamma=\alpha+\frac{\alpha}{3}+\frac{\alpha}{5}=x+y+z=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\alpha=\frac{45}{46}\),\(\beta=\frac{15}{46},\gamma=\frac{9}{46}\)
Vậy MaxM=\(\le\frac{81}{4}+\left(\frac{45}{46}\right)^2+3\left(\frac{15}{46}\right)^2+5\left(\frac{9}{46}\right)^2-3.\frac{45}{46}\)=\(\frac{432}{23}\)
CM
22 tháng 3 2017
a) a = 2; b = -5; c = 3
⇒ a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0
b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:
2 . 1 2 - 5 . 1 + 3 = 0
Vậy x = 1 là một nghiệm của phương trình
c) Theo định lí Vi-et ta có:
x 1 . x 2 = c / a = 3 / 2 ⇒ x 2 = 3 / 2
N
18 tháng 12 2016
BĐt phụ : \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
c/m :\(3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
↔\(2a^2-4ab+2b^2\ge0\)
↔\(2\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giải ;
ta có:\(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)
→\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\)(1)
mà \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)
↔\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{1}{3}\left(b+c\right)\);\(\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+c\right)\)
cộng vế vs vế ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
từ (1)→\(2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
↔ \(S\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=1\)(đặt S luôn cho tiện)
dấu = xảy ra khi BĐt ở đầu đúng :\(\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\)mà a+b+c=3↔a=b=c=1
29 tháng 9 2017
ap dung bdt am gm
\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)
tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)
\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)
tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co
\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
DP
0
20 tháng 9 2016
\(f\left(a,b\right)=a^2+8b^2-6ab+14a-40b+48=3\)
\(\Leftrightarrow f\left(a,b\right)=a^2+8b^2-6ab+14a-40b+45=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(7-3b\right)+\left(8b^2-40b+45\right)=0\)
Xét \(\Delta'=\left(7-3b\right)^2-\left(8b^2-40b+45\right)=b^2-2b+4=\left(b-1\right)^2+3>0\)
Vậy PT luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vì a,b nguyên nên \(b^2-2b+4=k^2\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow k^2-\left(b-1\right)^2=3\Leftrightarrow\left(k-b+1\right)\left(k+b-1\right)=3\)
Xét các trường hợp với k-b+1 và k+b-1 là các số nguyên được :
(b;k) = (0;2) ; (0;-2) ; (2;2) ; (2;-2)
Thay lần lượt các giá trị của b vào f(a,b) = 3 để tìm a.
Vậy : (a;b) = (-9;0) ; (-5;0) ; (-3;2) ; (1;2)
23 tháng 10 2018
Bài 3:
Ta có:\(|\frac{a}{2}-\frac{b}{3}|+|\frac{b}{4}-\frac{c}{3}|+|a+b+c-58|=0.\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}-\frac{b}{3}=0\\\frac{b}{4}-\frac{c}{3}=0\\a+b+c-58=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\\\frac{b}{4}=\frac{c}{3}\\a+b+c=58\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{9}\\a+b+c=58\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{8+12+9}=\frac{58}{29}=2\)
=> a/8=2 Vậy a=16
=> b/12=2 Vậy b=24
=> c/9=2 Vậy c=18
Cân bằng hệ số t vừa học:))
Từ đề bài có thể dự đoán a = c (do nó đối xứng nhau). Giả sử xảy ra cực trị tại a = c =x; b =y thì 2x + y = 3.
Ta có: \(a^3+2x^3\ge3x^2a\)
\(8b^3+16y^3\ge24y^2b\) (tách ra rồi cô si cho 3 số, mình tắt cho nhanh:v)
\(c^3+2x^3\ge3x^2c\)
Bây giờ cộng theo vế 3 bđt trên:
\(a^3+8b^3+c^3+4x^3+16y^3\ge3x^2\left(a+c\right)+24y^2b\)
Ta chọn x, y thỏa mãn \(3x^2=24y^2\left(\text{để xuất hiện giả thiết a+b+c=3}\right);2x+y=3\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{8y^2}\\2\sqrt{8y^2}+y=3\left(2\right)\end{cases}}\)
(2) \(\Leftrightarrow\) \(y=\frac{3}{2\sqrt{8}+1}\) từ đây suy ra x. Có điểm rơi rồi đó, bạn từ làm ik, số xấu ngại làm lắm.
Ai tk sai nói rõ lý do giùm, chứ vầy ko hay đâu nha!:))