cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
chứng minh trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(\frac{a^2c}{abc}+\frac{b^2a}{abc}+\frac{c^2a}{abc}=\frac{b^2c}{abc}+\frac{c^2a}{abc}+\frac{a^2b}{abc}\)
\(=>a^2c+b^2a+c^2a=b^2c+c^2a+a^2b\)
Vì \(c^2a=c^2a\)=> \(a^2c+b^2a=b^2c+a^2b\)
=>đpcm, hình như mình giải thiếu điều kiện thì phải
a/b+b/c+c/a=b/a+c/b+a/c
<=> a/b-b/a+b/c-c/b+c/a-a/c=0
<=> a^2c-c^2a+c^2b-b^2c+b^2a-a^2b=0
<=> ac(a-c)+bc(c-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a+a-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a)+bc(a-b)+ab(b-a)=0
<=> (a-c)(a-b)c+(a-b)(c-a)b=0
<=> (a-b)(c-a)(b-c)=0
<=> a=b hay c=a hay b=c
Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số =nhau
Lời giải:
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{abc}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2=a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=0\)
\(\Leftrightarrow ab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-c)=0\)
\(\Leftrightarrow ab(b-a)-bc[(b-a)+(a-c)]+ac(a-c)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(ab-bc)+(a-c)(ac-bc)=0\)
\(\Leftrightarrow b(b-a)(a-c)-c(a-c)(b-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(a-c)(b-c)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=a\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\)
Do đó luôn tồn tại hai số bằng nhau (đpcm)
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2c}{abc}+\dfrac{b^2a}{abc}+\dfrac{c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c}{abc}+\dfrac{a^2b}{abc}+\dfrac{c^2a}{abc}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c+a^2b+c^2a}{abc}\)
\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=b^2c+a^2b+c^2a\)
\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b-b^2c-a^2b-c^2a=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2c-c^2a\right)+\left(b^2a-a^2b\right)+\left(c^2b-b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b+a-a\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-a\right)+bc\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=b\\a=c\\a=b\end{matrix}\right.\)(Tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=1\Rightarrow ab+bc+ca=abc\)\
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(=ab+bc+ca-abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Từ đây ta suy ra đpcm.
Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a-b-c}\)
=> \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b-c}+\frac{1}{c}\)
=> \(\frac{b-a}{ab}=\frac{a-b}{\left(a-b-c\right)c}\)
Khi b - a = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (1)
Khi b - a \(\ne0\)
=> ab = -(a - b - c).c
=> ab = -ac + bc + c2
=> ab + ac - bc - c2 = 0
=> a(b + c) - c(b + c) = 0
=> (a - c)(b + c) = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (2)
Từ (1)(2) => (b - a)(a - c)(b + c) = 0
=> b - a = 0 hoặc a - c = 0 hoặc b + c = 0
=> a = b hoặc a = c hoặc b = -c
Vậy tồn tại 2 số bằng nhau hoặc đối nhau
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{ba+ac+ab}{abc}\)
mà abc = 1
\(\Rightarrow a+b+c=ba+ac+ab\)
Lại có: (a-1).(b-1).(c-1)
= (ab - a - b + 1) . ( c-1)
= abc - ac - bc + c - ab + a + b - 1
= ( abc - 1) +( a+ b + c ) - ( ac + bc + ab)
= ( 1 - 1) + ( a + b + c) - ( a + b + c)
= 0
=> (a-1).(b-1).(c-1) = 0
=> trong 3 số a;b;c tồn tại một số bằng 1
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(abc\ne0\)
\(abc\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)=abc\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2=b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-b^2c+ab^2-a^2b+bc^2-ac^2=0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)\left(a+b\right)-ab\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ac+bc-ab-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\) (đpcm)