cho a,b,c thỏa mãn a+b+c= abc. Cmr a(b^2-1)(c^2-1) +b(a^2-1)(c^2-1)+ c(a^2-1)(b^2-1) = 4abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 8 2017
1) ta có: a(b^2 -1)(c^2 -1)+b(a^2 -1)(c^2 -1)+c(a^2-1)(b^2-1)
=(ab^2 -a)(c^2-1)+(ba^2 -b)(c^2-1)+(ca^2-c)(b^2-1)
đén đây nhân bung ra hết rồi rút gọn và thay a+b+c=abc là đc
PA
1
30 tháng 9 2021
\(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\\ =\left(ab^2-a\right)\left(c^2-1\right)+\left(a^2b-b\right)\left(c^2-1\right)+\left(a^2c-c\right)\left(b^2-1\right)\\ =ab^2c^2-ab^2-ac^2+a+a^2bc^2-a^2b-bc^2+b+a^2b^2c-a^2c-b^2c+c\\ =abc\left(ab+bc+ac\right)-\left(a^2b+ab^2+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c\right)+\left(a+b+c\right)\\ =abc\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)+3abc-\left[\left(a^2b+ab^2+abc\right)+\left(b^2c+bc^2+abc\right)+\left(a^2c+ac^2+abc\right)\right]\\ =abc\left(ab+bc+ca\right)+abc+3abc-\left[ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)\right]\\ =4abc+abc\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\\ =4abc+abc\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(ab+bc+ca\right)=4abc\)
TQ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+c^3=\dfrac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^3+\dfrac{1}{c^3}-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{bc}-\dfrac{1}{ca}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b=c\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\end{matrix}\right.\)
Đề bài thiếu, cần thêm dữ liệu "a;b;c phân biệt"
Khi đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
TA
1
M
20 tháng 8 2023
Để chứng minh rằng biểu thức abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a, b, c ta có: (a + b + c)/3 >= (abc)^(1/3)
Vì a + b + c = 3, ta có: 3/3 >= (abc)^(1/3) 1 >= (abc)^(1/3) 1^3 >= abc 1 >= abc
Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (1 + a^2), (1 + b^2), (1 + c^2) ta có: (1 + a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3)
Vì a^2 + b^2 + c^2 >= 3 (bằng với bất đẳng thức Tchebyshev), ta có: (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 1 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) 1^3 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) 1 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)
Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1 * 1 = 1
Do đó, khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, ta có abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1, và vì 1 nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 1 2019
Lời giải:
Ta có:
\(a(b^2-1)(c^2-1)+b(a^2-1)(c^2-1)+c(a^2-1)(b^2-1)\)
\(=a(b^2c^2-b^2-c^2+1)+b(a^2c^2-a^2-c^2+1)+c(a^2b^2-a^2-b^2+1)\)
\(=(ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2)+(a+b+c)-[a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)]\)
\(=abc(ab+bc+ac)+abc-[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\)
\(=abc(ab+bc+ca)+4abc-[ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a+b)]\)
\(=abc(ab+bc+ca)+4abc-(a+b+c)(ab+bc+ac)\)
\(=abc(ab+bc+ca)+4abc-abc(ab+bc+ac)=4abc\)
Ta có đpcm.
NG
4
S
19 tháng 6 2018
Ta có: (a+b+c)2=a2+b2+c2
<=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2
<=>ab+bc+ca=0
<=>\(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\) (1)
<=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\) (2)
Thay (1) vào (2) ta đc:
\(\frac{1}{a^3}-\frac{3}{abc}+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\left(đpcm\right)\)
19 tháng 6 2018
toán lớp 7 có cái này hả??
Ta có:\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2\)
<=>\(ab+ac+bc=0\)
Phân tích ngược từ chứng minh. Lưu ý: cách này chỉ trình bày ngoài nháp rồi mới trình bày từ duới lên
Nếu \({1\over a^3} + {1\over b^3} +{1\over c^3}={3\over abc}\)
Nhân với abc cả hai vế
\({abc\over a^3} + {abc\over b^3} +{abc\over c^3}=3\)
<=>\({bc\over a^2} + {ac\over b^2} +{ab\over c^2}=3\)
mà ab+ac+bc=0
=>\({-(ac+ab)\over a^2} + {-(bc+ba)\over b^2} +{-(ac+bc)\over c^2}=3\)
<=>\({-a(c+b)\over a^2} + {-b(c+a)\over b^2} +{-c(a+b)\over c^2}-3=0\)
<=>\({c+b\over a} + {c+a\over b} +{a+b\over c}+3=0\)
<=>\({c+b\over a} +1+ {c+a\over b} +1+{a+b\over c}+1=0\)
<=>\({c+b+a\over a} ++ {c+a+b\over b} +{a+b+c\over c}=0\)
<=>\((a+b+c)({1\over a}+{1\over b}+{1\over c})=0\)
tới đây không phải là ta có được 2 vế trên =0 . Mà phải chứng minh 1 trong 2 vế trên bằng 0
Ta có \(ab+ac+bc=0\)(1)
mà a,b,c khác 0 theo đề bài nên ta có quyền chia abc cho vế (1)
=>\({ab\over abc}+{cb\over abc}+{ac\over abc}=0\)
=>\({1\over a}+ {1\over b}+ {1\over c}=0\)
Vậy từ dữ kiện ta có thể suy ngược lại tất cả nãy giờ ta chúng minh được