- Cho a,b>= 0chứng minh rằng a+b>= 2√a.√bb
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LL
3
30 tháng 6 2021
$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow 2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a \ge 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2 \ge 0$ luôn đúng với $a,b,c \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
30 tháng 6 2021
Ta có: \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2022
Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2x}+\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2z}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(y+z\right)^2}{4x}+\dfrac{\left(x+z\right)^2}{4y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4z}-\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(VT\ge\dfrac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)
\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}\) (đpcm)
NM
1
T
20 tháng 8 2023
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
Mặt khác: \(a^2\ge0\forall a;b^2\ge0\forall b;c^2\ge0\forall c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\)
Suy ra: \(2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\) (1)
Lại có: \(a^4+b^4+c^4\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\right]\)
\(=0-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+2\left(ab+bc+ac\right)-2\left(ab+bc+ac\right)\right]\)
\(=-2\left(ab+bc+ac\right)^2-4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(=0\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\)
hay \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+ac+bc\right)^2\)
Kiểm tra hộ mình xem có đúng không ạ!
21 tháng 1 2022
\(\Leftrightarrow ab-4a+3b-12-\left(ab+4a-3b-12\right)=0\)
=>-4a+3b-4a+3b=0
=>-8a=-6b
=>4a=3b
hay a/3=b/4
3 tháng 6 2021
\(\dfrac{x^2+y^2}{a^2+b^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{a^2+b^2}=\dfrac{x^2b^2+a^2y^2}{a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2b^2+a^2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2x^2+a^2b^2y^2=a^2x^2b^2+a^4y^2+b^4x^2+a^2y^2b^2\)
\(\Leftrightarrow0=a^4y^2+b^4x^2\)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}a^4y^2\ge0\\b^4x^2\ge0\end{matrix}\right.\) =>\(a^4y^2+b^4x^2\ge0\)
[=] xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^4y^2=0\\b^4x^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) (vì a;b khác 0)
Vậy y=x=0 (đpcm)
M
1
8 tháng 9 2023
Để A là số nguyên thì \(3\sqrt{x}+8⋮\sqrt{x}+2\)
=>\(3\sqrt{x}+6+2⋮\sqrt{x}+2\)
=>\(2⋮\sqrt{x}+2\)
mà \(\sqrt{x}+2>2\forall x>0\)
nên A không thể là số nguyên
11 tháng 7 2021
Ta có: \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-2\left(\dfrac{c}{abc}+\dfrac{b}{abc}+\dfrac{a}{abc}\right)}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-2\cdot\dfrac{a+b+c}{abc}}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
18 tháng 4 2023
đb bị thiếu nhá bn, mik bổ sung ns sẽ thành: thỏa mãn a\(\le b\le c\)