Question

[Ngọc Hiền]

câu 1:trong một kì thi,60 thí sinh phải giải 3 bài toán .khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng : với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được.CMR:

a)nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.

b)có một bài toán mà ít nhất 40 thí sinh giải được
câu 2:CMR:4^a chia cho 6 luôn dư 4 với mọi số a\(\in Z\)

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

Câu 1:

a) Gọi 3 bài toán đó là A, B, C

Giả sử mọi thí sinh đều không giải được bài toán A.

Nếu tồn tại 1 thí sinh chỉ giải được một bài toán, giả sử là bài toán B thì xét thí sinh này lần lượt với 59 thí sinh còn lại. Theo giả thiết ta có 59 thí sinh đó đều giải được bài toán B. Do đó cả 60 thí sinh đều giải được bài toán B.

Nếu thí sinh nào cũng giải được hai bài toán B, C thì ta có mọi thí sinh đều giải được bài toán B, C.

Nếu thí sinh nào cũng không giải được bài toán B thì tất cả các thí sinh đều giải được bài toán C.

Vậy ta có đpcm.

b) Nếu tồn tại một học sinh chỉ giải được một bài toán thì xét học sinh này với tất cả các học sinh còn lại ta có các học sinh còn lại cũng giải được bài toán này.

Nếu mỗi học sinh giải được ít nhất 2 bài toán:

Gọi số thí sinh giải được A, B mà không giải được C là x; số thí sinh giải được B, C mà không giải được A là y; số thí sinh giải được C, A mà không giải được B là z; số thí sinh giải được cả 3 bài này t. \((x,y,z,t\in\mathbb{N})\)

Rõ ràng ta có: \(x+y+z+t=60\).

Giả sử không tồn tại một bài toán mà có ít nhất 40 người giải được.

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+t< 40\\y+z+t< 40\\z+x+t< 40\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)+3t< 120\Rightarrow2\left(x+y+z\right)+3t< 2\left(x+y+z+t\right)\Rightarrow t< 0\) (vô lí).

Vậy giả sử sai hay ta có đpcm.

Answer 2

[Ngọc Hiền]

help me...!