Question

[Bùi Hiền Thảo]

Cho tam giác nhọn ABC , có BC=a,CA=b,AB=c.Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Hạ MH,MK,MP lần lượt vuông góc với BC, CA,AB.

a, Chứng minh:AP²+BH²+CK²=BP²+CH²+AK²

b,Tìm giá trị nhỏ nhất của: AP²+BH²+CK²(tình theo a,b,c)

Answer 1

[phùng ngọc tú uyên]

ta có:

a) AP² + BH² + CK² = AM² - MP² + MB² - MH² + MC² - MK²

= AM² - MK² + MC² - MH² + MB² - MP²

= AK² + CH² + BP² (đpcm)

b) ta có:

AP² + BH² + CK² = AK² + CH² + BP² (cmt)

=> 2 (AP² + BH² + CK²) = (AP² + BP²) + (CK² + AK²) + (BH² + CH²)

\(\ge\)\(\dfrac{\left(AP+BP\right)^2}{2}\)+ \(\dfrac{\left(AK+CK\right)^2}{2}\)+\(\dfrac{\left(CH+BH\right)^2}{2}\)=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

Vậy GTNN của AP² + BH² + CK² là \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\)

<=> M là giao điểm ba đường trung trực của tam giác