Cho x,y,z khác 0 và x+y+z=2008. tính giá trị biểu thức P= \(\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 10 2016
\(P=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{-x^3\left(y-z\right)-y^3\left(z-x\right)-z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{-x^3y+x^3z-y^3z+y^3x-z^3x+z^3y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(z-x\right)\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=x+y+z=2008\)
19 tháng 7 2016
3) áp dụng đẳng thức \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
<=>\(1-3xyz=1\left(1-xy-yz-zx\right)\)
<=>\(3xyz=xy+yz+zx\)
mặt khác ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=1\)
<=>\(1+2xy+2yz+2zx=1\)
<=> \(xy+yz+zx=0\)
do đó 3xyz=0<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\\z=0\end{cases}}\)
lần lượt thay x;y;z vào hệ ta có các cặp nghiệm (x;y;z)=(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)
do đó x^2017+y^2017+z^2017=1
8 tháng 11 2018
\(A=\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^2}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}-\frac{y^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^2}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\frac{x^2\left(y-z\right)-y^2\left(x-z\right)+z^2\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(x^2\left(y-z\right)-y^2\left(x-z\right)+z^2\left(x-y\right)\)
\(=x^2y-x^2z-xy^2+y^2z+z^2\left(x-y\right)\)
\(=xy\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z^2\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left[xy-zx-zy+z^2\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left[x\left(y-z\right)-z\left(y-z\right)\right]=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)
Vậy A = 1
NH
25 tháng 2 2020
\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}-1=\frac{z+x}{y}-1=\frac{x+y}{z}-1\)
\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=\frac{y+z+z+x+x+y}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Do đó: +) \(\frac{y+z}{x}=2\)\(\Rightarrow y+z=2x\)
+) \(\frac{z+x}{y}=2\)\(\Rightarrow z+x=2y\)
+) \(\frac{x+y}{z}=2\)\(\Rightarrow x+y=2z\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{y+x}{y}.\frac{z+y}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{2z}{y}.\frac{2x}{z}.\frac{2y}{x}=2.2.2=8\)
CH
1 tháng 3 2020
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:\(\frac{ }{ }\)
y+z-x/x=z+x-y/y=x+y-z/z
=y+z-x+z+x-y+x+y-z/x+y+z
=(y-y)+(z-z)-(x-x)+z+x+y/x+y+z
=0+0+0+x+y+z/x+y+z=1
\(\Leftrightarrow\)x=y=z (*)
thay (*) vào B ta có:
B=(1+x/x)(1+x/x)(1+x/x)
=2.2.2=8
21 tháng 8 2020
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(...=\frac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)( vì x + y + z \(\ne\)0 )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y+z-x}{x}=1\\\frac{z+x-y}{y}=1\\\frac{x+y-z}{z}=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z-x=x\\z+x-y=y\\x+y-z=z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z=2x\\z+x=2y\\x+y=2z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
Thế x = y = z vào B ta được :
\(B=\left(1+\frac{y}{y}\right)\left(1+\frac{x}{x}\right)\left(1+\frac{z}{z}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2\cdot2\cdot2=8\)
11 tháng 1 2021
X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ
<=> X3 + Y3 + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X3 + Y3 ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X + Y )3 - 3XY( X + Y ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> [ ( X + Y )3 + Z3 ] - 3XY( X + Y + Z ) = 0
<=> ( X + Y + Z )[ ( X + Y )2 - ( X + Y ).Z + Z2 - 3XY ] = 0
<=> ( X + Y + Z )( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}X+Y+Z=0\\X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-XZ=0\end{cases}}\)
+) X + Y + Z = 0 => \(\hept{\begin{cases}X+Y=-Z\\Y+Z=-X\\X+Z=-Y\end{cases}}\)
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(\frac{X+Y}{Y}\right)\left(\frac{Y+Z}{Z}\right)\left(\frac{X+Z}{X}\right)=\frac{-Z}{Y}\cdot\frac{-X}{Z}\cdot\frac{-Y}{X}=-1\)
+) X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ = 0
<=> 2( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> 2X2 + 2Y2 + 2Z2 - 2XY - 2YZ - 2XZ = 0
<=> ( X2 - 2XY + Y2 ) + ( Y2 - 2YZ + Z2 ) + ( X2 - 2XZ + Z2 ) = 0
<=> ( X - Y )2 + ( Y - Z )2 + ( X - Z )2 = 0 (1)
DỄ DÀNG CHỨNG MINH (1) ≥ 0 ∀ X,Y,Z
DẤU "=" XẢY RA <=> X = Y = Z
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(1+\frac{Y}{Y}\right)\left(1+\frac{Z}{Z}\right)\left(1+\frac{X}{X}\right)=2\cdot2\cdot2=8\)