Xác định giá trị của a và b để hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}ax-2by=2\\\left(a-1\right)x+by=12\end{cases}}\) có nghiệm (x; y ) = (2 ; 4)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a+1\right)x-y=3\\y=a-ax\end{cases}}\)
Thay y=a-ax vào pt đầu,ta có
\(\left(a+1\right)x-a+ax=3\)
\(\Leftrightarrow ax+x-a+ax=3\)
\(\Leftrightarrow\)2ax+x=a+3
\(\Leftrightarrow\)x(2a+1)=a+3
Dể hpt có nghiệm duy nhất thì 2a+1\(\ne\)0
\(\Leftrightarrow\)a\(\ne\)\(\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(x=\frac{a+3}{2a+1}\)
Mà y=a-ax
\(\Rightarrow y=\frac{a^2-2a}{2a+1}\)
Để x+y>0 thì\(\frac{a+3}{2a+1}+\frac{a^2-2a}{2a+1}=\frac{a^2-a+3}{2a+1}=\frac{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}}{2a+1}\)
Vì tử số >0 nên để x+y>0 thì 2a+1>0
\(\Rightarrow a>-\frac{1}{2}\left(tm\right)\)
Vậy để hpt có nghiệm duy nhất tm x+y>0 thì a>\(-\frac{1}{2}\)
Vì pt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;-1\right)\)
Nên thế x=2 và y=-1 vào hpt
\(\hept{\begin{cases}6a-2b=5\\8+b=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}6a-2b=5\\b=-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}}\)
Đặt S=x+y, P=x.y
Ta có:S=2a-1, x^2+y^2=S^2-2P=a^2+2a-3
\Rightarrow P=\frac{1}{2}[(2a-1)^2-(a^2+2a-3)]=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)
Trước hết tìm a để hệ có nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm:S^2-4P \geq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^2-2(3a^2-6a+4)\geq 0
\Leftrightarrow -2a^2+8a-7 \geq 0 \leftrightarrow 2-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq a \leq 2+\frac{\sqrt{2}}{2} (1)
Tìm a để P=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
[2-\frac{\sqrt{2}}{2} ;2+\frac{\sqrt{2}}{2}]
Ta có hoành độ đỉnh a_0=\frac{6}{2.3}=1Parabol có bề lõm quay lên do đó \min P=P(2-\frac{\sqrt{2}}{2} )$
Vậy với a=2-\frac{\sqrt{2}}{2} thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Hệ pt \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x+\left(m-1\right)y=2\left(1\right)\\\left(m+1\right)x-y=m+1\left(2\right)\end{cases}}\)
Nếu \(m+1=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}-2y=2\\-y=0\end{cases}\left(ktm\right)}\)
Nếu \(m+1\ne0\Rightarrow m^2y=m+1\Rightarrow y=\frac{m+1}{m^2}\Rightarrow x=2-\left(m-1\right)y\)
\(\Rightarrow x=2-\frac{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}{m^2}=\frac{m^2+1}{m^2}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\frac{m^2+1}{m^2}>\frac{m+1}{m^2}\Rightarrow\frac{m^2-m}{m^2}>0\Rightarrow m^2-m>0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m< 0\\m>1\end{cases}}\)
Vậy với \(\orbr{\begin{cases}m< 0\\m< 1\end{cases};m\ne-1}\)thì .....