Question

[Gia Huy To]

9. Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy M, N. Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP PQ = MN Gọi I là giao điểm của MQ và PN. Chứng minh: α) triangle OPN = triangle OMQ b triangle MPN = triangle PMQ c) triangle IMN = triangle IPQ d) OI là tia phân giác của xOy e) OI là đường trung trực của MP f) MP//NQ.

Vẽ hình thôi ạ

Answer 1

[Kim Ngoc]

a) 

△OPN=△OMQ\triangle OPN = \triangle OMQ:

• OM=OPOM = OP (giả thiết).
• ∠OPN=∠OMQ\angle OPN = \angle OMQ (vì cùng chắn cung tương ứng trên tia Ox,OyOx, Oy).
• ONON là cạnh chung.

Do đó, △OPN=△OMQ\triangle OPN = \triangle OMQ theo trường hợp c−g−cc-g-c.

b) △MPN=△PMQ\triangle MPN = \triangle PMQ:

• MP=MQMP = MQ (theo giả thiết PQ=MNPQ = MN, mà MN=OM=OPMN = OM = OP).
• ∠PMN=∠QMP\angle PMN = \angle QMP (vì chúng đối đỉnh).
• PN=PMPN = PM (do tam giác đều).

Vậy △MPN=△PMQ\triangle MPN = \triangle PMQ theo trường hợp c−g−cc-g-c.

c) △IMN=△IPQ\triangle IMN = \triangle IPQ:

• IM=IPIM = IP (vì OIOI là trung trực của MPMP nên hai đoạn bằng nhau).
• ∠IMN=∠IPQ\angle IMN = \angle IPQ (vì tia OIOI là phân giác của góc xOyxOy).
• IN=IQIN = IQ (giả thiết).

Do đó, △IMN=△IPQ\triangle IMN = \triangle IPQ theo trường hợp c−g−cc-g-c.

d) OIOI là tia phân giác của xOyxOy:

• Vì OIOI là giao điểm của các đoạn thẳng MQMQ và PNPN, chia tam giác OPNOPN và OMQOMQ thành hai phần bằng nhau.
• Mặt khác, các góc ∠MOI=∠POI\angle MOI = \angle POI (do tính đối xứng qua OIOI).
• Nên OIOI là phân giác của góc xOyxOy.

e) OIOI là đường trung trực của MPMP:

• Giao điểm II cách đều MM và PP (theo tính chất đối xứng của đường trung trực).
• OIOI vuông góc với MPMP tại II (đặc điểm đường trung trực).

Do đó, OIOI là đường trung trực của MPMP.

f) Tỉ số MP/NQ=1MP/NQ = 1:

• Do MP=NQMP = NQ (theo giả thiết PQ=MNPQ = MN và các tam giác bằng nhau).
• Suy ra, MP/NQ=1MP/NQ = 1
•  

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]